Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \sin 2 x \cos 4 x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin(2x)\cos(4x)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de produto de funções trigonométricas, e vamos usar a identidade de produto para soma.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\sin(a)\cos(b)=\tfrac12\bigl[\sin(a+b)+\sin(a-b)\bigr]
com a=2x e b=4x. Assim,
\sin(2x)\cos(4x) =\tfrac12\bigl[\sin(6x)+\sin(-2x)\bigr] =\tfrac12\bigl[\sin(6x)-\sin(2x)\bigr].

Passo 3

Logo
\int \sin(2x)\cos(4x)\,dx =\tfrac12\int \sin(6x)\,dx -\tfrac12\int \sin(2x)\,dx.

Passo 4

Usamos que
\int \sin(kx)\,dx=-\tfrac{1}{k}\cos(kx),
portanto
\int \sin(6x)\,dx=-\tfrac{1}{6}\cos(6x), \qquad \int \sin(2x)\,dx=-\tfrac{1}{2}\cos(2x).

Passo 5

Substituindo, vem
\tfrac12\Bigl(-\tfrac{1}{6}\cos(6x)\Bigr) -\tfrac12\Bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\Bigr) =-\tfrac{1}{12}\cos(6x)+\tfrac{1}{4}\cos(2x)+C.

Resposta

-\tfrac{1}{12}\cos(6x)+\tfrac{1}{4}\cos(2x)+C.

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