Resolva cada uma das integrais a seguir
integral csc ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral integral csc^4 x,dx. Vamos usar identidades trigonométricas e substituição para potências de funções trigonométricas. Em particular, precisaremos da identidade csc^2 x = 1 + cot^2 x e do fato de que ddx(cot x) = -csc^2 x.

Passo 2

Reescrevemos a potência de csc x de modo a aplicar a identidade:
csc^4 x = csc^2 x cdot csc^2 x = csc^2 x,(1 + cot^2 x)
Substituímos na integral e escolhemos u = cot x, de onde du = -csc^2 x,dx. Assim:
integral csc^4 x,dx = integral csc^2 x,(1 + cot^2 x),dx = -integral (1 + u^2),du
Agora basta integrar em u:
-integral (1 + u^2),du = -l(u + u^33r) + C = -u - u^33 + C
Voltando para x com u = cot x, obtemos a primitiva desejada.

Resposta

-cot x - tfrac13cot^3 x + C

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