Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{\operatorname{sen} z}{z{2}+\pi{2}} d z ;|z-2 i|=2
Passo 1
A gente quer calcular a integral de contorno sobre o círculo . Aqui o conteúdo da matéria é o Teorema dos Resíduos (ou fórmulas de Cauchy) para integrais de funções meromorfas em contornos fechados.
Passo 2
Primeiro, achamos os polos da função . O denominador zera quando , ou seja .
Passo 3
Agora vemos quais destes polos estão dentro do círculo . O centro é e raio é 2, então: , logo ipi está dentro; l|-ipi-2ir|=|-(pi+2)|=pi+2>2, logo -ipi está fora.
Passo 4
Como só z=ipi está dentro de C, aplicamos o cálculo do resíduo em polo simples:
Sabendo que Resz=ipif(z)=limzto ipi(z-ipi)sin z(z-ipi)(z+ipi)=sin(ipi)2,ipi, temos