Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{\operatorname{sen} z}{z{2}+\pi{2}} d z ;|z-2 i|=2

Passo 1

A gente quer calcular a integral de contorno ointC sin zz^2+pi^2,dz sobre o círculo C:,|z-2i|=2. Aqui o conteúdo da matéria é o Teorema dos Resíduos (ou fórmulas de Cauchy) para integrais de funções meromorfas em contornos fechados.

Passo 2

Primeiro, achamos os polos da função f(z)=sin zz^2+pi^2. O denominador zera quando z^2+pi^2=0, ou seja
z=pm ipi.

Passo 3

Agora vemos quais destes polos estão dentro do círculo C. O centro é 2i e raio é 2, então:
l|ipi-2ir|=|pi-2|approx1,14<2, logo ipi está dentro;
l|-ipi-2ir|=|-(pi+2)|=pi+2>2, logo -ipi está fora.

Passo 4

Como só z=ipi está dentro de C, aplicamos o cálculo do resíduo em polo simples:

Sabendo que Resz=ipif(z)=limzto ipi(z-ipi)sin z(z-ipi)(z+ipi)=sin(ipi)2,ipi, temos

Passo 5

Finalmente, pelo Teorema dos Resíduos:

Resposta

isinh(pi)

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