Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{e{z{2}}}{(z-i)^{3}} d z ;|z-i|=1

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de contorno ointCe^z^2(z-i)^3,dz em que C é o círculo |z-i|=1. O conteúdo envolvido é a fórmula de Cauchy para derivadas (Teorema 5.5.1) aplicada a singularidades isoladas (Teorema 5.5.2).

Passo 2

O único ponto singular da função e^z^2(z-i)^3 é em z=i, que é um pólo de ordem 3, e esse pólo está dentro de C (centro em i e raio 1).

Passo 3

Pela fórmula de Cauchy para derivadas, se f é analítica em e dentro de C, então

Aqui escolhemos nointCf(z)(z-a)^n+1,dz = 2pi in!,f^(n)(a), f(z)=e^z^2 e a=i, logo n+1=3. Precisamos de n=2. Derivando, a gente encontra

Passo 4

Agora avaliamos em z=i:

Passo 5

Substituindo na fórmula de Cauchy para derivadas:

Resposta

-\nfrac{2\pi i}{e}

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