Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{e{z{2}}}{(z-i)^{3}} d z ;|z-i|=1
\oint_{C} \frac{e{z{2}}}{(z-i)^{3}} d z ;|z-i|=1
Passo 1
A questão pede para calcular a integral de contorno
em que
é o círculo
. O conteúdo envolvido é a fórmula de Cauchy para derivadas (Teorema 5.5.1) aplicada a singularidades isoladas (Teorema 5.5.2).
Passo 2
O único ponto singular da função
é em
, que é um pólo de ordem 3, e esse pólo está dentro de
(centro em
e raio 1).
Passo 3
Pela fórmula de Cauchy para derivadas, se
é analítica em e dentro de
, então
Aqui escolhemos
Passo 4
Agora avaliamos em
:
Passo 5
Substituindo na fórmula de Cauchy para derivadas:
Resposta
-\nfrac{2\pi i}{e}