Resolva cada uma das integrais a seguir
integral tan ^5 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral tan^5(3x),dx. O conteúdo aqui é integração de potências de tan, e vamos precisar usar a identidade tan^2theta=sec^2theta-1 e substituições do tipo u=tan(3x).

Passo 2

Primeiro, separamos tan^5(3x) como tan^3(3x),tan^2(3x) e usamos tan^2(3x)=sec^2(3x)-1. Assim fica
integral tan^5(3x),dx=integral tan^3(3x)l(sec^2(3x)-1r)dx=integral tan^3(3x)sec^2(3x),dx-integral tan^3(3x),dx

Passo 3

Chamando
I1=integral tan^3(3x)sec^2(3x),dx,
fazemos a substituição u=tan(3x), de onde du=3sec^2(3x),dx. Então
I1=integral u^3du3=13cdotu^44=tan^4(3x)12

Passo 4

Agora
I2=integral tan^3(3x),dx =integral tan(3x)l(sec^2(3x)-1r)dx =integral tan(3x)sec^2(3x),dx-integral tan(3x),dx
Para integral tan(3x)sec^2(3x),dx usamos de novo u=tan(3x) e achamos
integral tan(3x)sec^2(3x),dx=tan^2(3x)6
E para integral tan(3x),dx sabemos que é
-13lnl|cos(3x)r|
Portanto
I2=tan^2(3x)6+13lnl|cos(3x)r|

Passo 5

Juntando I1 e I2, temos
integral tan^5(3x),dx=I1-I2=tan^4(3x)12-l(tan^2(3x)6+13lnl|cos(3x)r|r)+C,
que simplifica para a resposta final.

Passo 6

Resposta

tan^4(3x)12-tan^2(3x)6-13lnlvertcos(3x)rvert+C

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