Verifique se
para as seguintes funções:
Passo 1
O problema pede para verificar se as derivadas parciais mistas de segunda ordem são iguais para a função
. O conteúdo aqui envolve derivadas parciais e o teorema de Clairaut, que diz que se as derivadas de segunda ordem forem contínuas, então
. Precisamos calcular
,
,
e
e comparar.
Passo 2
Começando pela derivada parcial de
em relação a
. Como
e
são constantes em relação a
, temos:
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
para obter a derivada mista
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Aqui usamos a regra do produto entre
e
:
Passo 5
Depois derivamos
em relação a
para obter a outra derivada mista
. Como
é constante em relação a
, temos:
Passo 6
Comparando os resultados, vemos que
e
. Portanto, as derivadas mistas coincidem, como previsto pelo teorema de Clairaut.