Verifique se partial^2 fpartial y partial x=partial^2 fpartial x partial y para as seguintes funções:
f(x, y)=x y e^y

Passo 1

O problema pede para verificar se as derivadas parciais mistas de segunda ordem são iguais para a função f(x,y)=x,y,e^y. O conteúdo aqui envolve derivadas parciais e o teorema de Clairaut, que diz que se as derivadas de segunda ordem forem contínuas, então fxy=fyx. Precisamos calcular fx, fxy, fy e fyx e comparar.

Passo 2

Começando pela derivada parcial de f em relação a x. Como y e e^y são constantes em relação a x, temos:
fx = partialpartial x(x,y,e^y) = y,e^y

Passo 3

Agora derivamos fx em relação a y para obter a derivada mista fxy:
fxy = partialpartial y(y,e^y) = e^y + y,e^y = e^y(1+y)

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial de f em relação a y. Aqui usamos a regra do produto entre x,y e e^y:
fy = partialpartial y(x,y,e^y) = x,e^y + x,y,e^y = x,e^y(1+y)

Passo 5

Depois derivamos fy em relação a x para obter a outra derivada mista fyx. Como e^y(1+y) é constante em relação a x, temos:
fyx = partialpartial xl(x,e^y(1+y)r) = e^y(1+y) = e^y + y,e^y

Passo 6

Comparando os resultados, vemos que fxy=e^y(1+y) e fyx=e^y(1+y). Portanto, as derivadas mistas coincidem, como previsto pelo teorema de Clairaut.

Resposta

fxy=fyx=e^y+ye^y, logo as derivadas mistas são iguais.

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