Resolva cada uma das integrais a seguir
integral tan ^3 raizxraizx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral tan^3(raizx)raizx,dx. O conteúdo chave é técnica de substituição e integrais trigonométricas; vamos usar substituição para eliminar a raiz e depois aplicar identidades de tan^2 u=sec^2 u-1.

Passo 2

Fazendo a substituição u=raizx, temos x=u^2 e dx=2u,du. Como raizx=u, a integral vira
integral tan^3(raizx)raizx,dx = integral tan^3(u)ucdot 2u,du = 2integral tan^3(u),du

Passo 3

Para integrar 2integral tan^3(u),du, escrevemos tan^3(u)=tan^2(u)tan(u)=(sec^2(u)-1)tan(u). Então:
2integral tan^3(u),du = 2integral (sec^2(u)-1)tan(u),du =2l(integral tan(u)sec^2(u),du - integral tan(u),dur)
No primeiro termo, com t=tan(u) e dt=sec^2(u),du, temos integral tan(u)sec^2(u),du=tfractan^2(u)2. No segundo, integral tan(u),du=-ln|cos(u)|. Logo:
2integral tan^3(u),du =2l(tfractan^2(u)2 + ln|cos(u)|r)=tan^2(u)+2ln|cos(u)|+C

Passo 4

Voltando à variável original u=raizx, a antiderivada fica
tan^2(raizx) + 2lnl|cos(raizx)r| + C

Resposta

tan^2(raizx) + 2lnl|cos(raizx)r| + C

Exercícios relacionados