Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{2 z+5}{z^{2}-2 z} d z ;
|z-3|=2
\oint_{C} \frac{2 z+5}{z^{2}-2 z} d z ;
|z-3|=2
Passo 1
O enunciado pede para calcular
com
sendo o círculo
. Isso faz parte de integrais de contorno em análise complexa, onde vamos usar o Teorema de Cauchy (5.5.1) para integrais que dão zero e o Teorema (Fórmula) de Cauchy (5.5.2) para integrar funções do tipo
.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador para localizar singularidades:
Portanto há polos simples em
e
.
Passo 3
Agora determinamos quais polos estão dentro do contorno
:
- Para
: , está dentro. - Para
: , está fora.
Passo 4
Vamos decompor em frações parciais:
Igualando numeradores obtemos:
Comparando coeficientes chegamos a:
e
.
Passo 5
Assim o integrando vira:
Agora aplicamos os teoremas:
- Pelo Teorema 5.5.1,
porque está fora de . - Pelo Teorema 5.5.2,
já que está dentro.
Passo 6
Multiplicando pelos coeficientes temos:
- Termo
. - Termo
Resposta
9\pi i