Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{2 z+5}{z^{2}-2 z} d z ;
|z-3|=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointC 2z+5z^2-2z,dz com C sendo o círculo |z-3|=2. Isso faz parte de integrais de contorno em análise complexa, onde vamos usar o Teorema de Cauchy (5.5.1) para integrais que dão zero e o Teorema (Fórmula) de Cauchy (5.5.2) para integrar funções do tipo f(z)/(z-a).

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador para localizar singularidades:
z^2-2z = z,(z-2)
Portanto há polos simples em z=0 e z=2.

Passo 3

Agora determinamos quais polos estão dentro do contorno |z-3|=2:
  • Para z=2: |2-3|=1<2, está dentro.
  • Para z=0: |0-3|=3>2, está fora.

Passo 4

Vamos decompor em frações parciais:
2z+5z(z-2) = Az + Bz-2
Igualando numeradores obtemos:
2z+5 = A(z-2)+Bz
Comparando coeficientes chegamos a: A=-tfrac52 e B=tfrac92.

Passo 5

Assim o integrando vira:
2z+5z^2-2z = -521z + 921z-2
Agora aplicamos os teoremas:
  • Pelo Teorema 5.5.1, ointC 1z,dz=0 porque z=0 está fora de C.
  • Pelo Teorema 5.5.2, ointC 1z-2,dz = 2pi i já que z=2 está dentro.

Passo 6

Multiplicando pelos coeficientes temos:
  • Termo -tfrac52cdot0 = 0.
  • Termo tfrac92cdot2pi i = 9pi i

Resposta

9\pi i

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