Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{2 z+5}{z^{2}-2 z} d z ;
|z+1|=2

Passo 1

Estamos lidando com a integral de contorno \ ointC 2z+5z^2-2z,dz em que o contorno C é o círculo |z+1|=2. O conteúdo principal é o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.1), que diz que podemos calcular essa integral somando os resíduos dos polos dentro de C e multiplicando por 2pi i.

Passo 2

Primeiro identificamos os polos da função integranda. O denominador z^2-2z fatoriza-se como z(z-2), logo há polos simples em z=0 e z=2. Precisamos ver quais desses estão dentro do círculo |z+1|=2.

Passo 3

Verificação de inclusão no contorno: para z=0 temos |0+1|=1<2, então z=0 está dentro de C. Para z=2 temos |2+1|=3>2, logo z=2 está fora de C. Assim, só o polo em z=0 contribui.

Passo 4

Agora calculamos o resíduo em z=0. Como é um polo simples, usamos \ Resl(2z+5z(z-2),,z=0r)=limzto0zcdot2z+5z(z-2)=limzto02z+5z-2 Substituindo z=0 obtemos 5-2=-52.

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral vale \ ointC2z+5z^2-2z,dz =2pi itimesl(-tfrac52r)=-5pi i

Resposta

-5pi i

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