Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{2 z+5}{z^{2}-2 z} d z ;
|z+1|=2
\oint_{C} \frac{2 z+5}{z^{2}-2 z} d z ;
|z+1|=2
Passo 1
Estamos lidando com a integral de contorno \
em que o contorno
é o círculo
. O conteúdo principal é o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.1), que diz que podemos calcular essa integral somando os resíduos dos polos dentro de
e multiplicando por
.
Passo 2
Primeiro identificamos os polos da função integranda. O denominador
fatoriza-se como
, logo há polos simples em
e
. Precisamos ver quais desses estão dentro do círculo
.
Passo 3
Verificação de inclusão no contorno: para
temos
, então
está dentro de
. Para
temos
, logo
está fora de
. Assim, só o polo em
contribui.
Passo 4
Agora calculamos o resíduo em
. Como é um polo simples, usamos \
Substituindo
obtemos
.
Passo 5
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral vale \