Resolva cada um dos Problemas de Valor inicial a seguir,
2 y d yd x=-x^2 ; y(0)=2,

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
2,y,dydx = -x^2, y(0)=2,
que é uma equação diferencial de variáveis separáveis. Para resolver, vamos reescrever de modo a isolar termos em y num lado e termos em x no outro, e então integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por dx e dividindo por y:
2,y,dy = -x^2,dx

Passo 3

Integramos cada membro:
integral 2,y,dy = integral -x^2,dx
No lado esquerdo, integral 2y,dy = y^2. No direito, integral -x^2,dx = -x^33 + C. Logo, obtemos
y^2 = -x^33 + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=2. Substituindo x=0 e y=2 em y^2 = -x^33 + C
4 = 0 + C Longrightarrow C = 4

Passo 5

Substituindo C=4 na solução geral, ficamos com
y^2 = 4 - x^33
Assim,
y(x) = pmraiz4 - x^33
Como y(0)=2>0, escolhemos a raiz positiva.

Resposta

y(x) = raiz4 - x^33

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