Resolva cada PVI abaixo utilizando o método adequado de sua preferência:
(e^2 y-y) cos (x) y^prime=e^y sen(2 x), com y(0)=0.

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
l(e^2y-yr)cos(x),dydx ;=; e^ysin(2x),
com condição inicial y(0)=0.
Estamos diante de uma equação de primeira ordem que admite separação de variáveis, pois podemos expressar tfracdydx como função de y vezes função de x.

Passo 2

Isolamos tfracdydx e simplificamos usando sin(2x)=2sin(x)cos(x):
dydx =e^ysin(2x)(e^2y-y)cos(x) =e^y;2sin(x)cos(x)(e^2y-y)cos(x) =2,e^ysin(x)e^2y-y

Passo 3

Separamos as variáveis y e x:
e^2y-ye^y,dy ;=;2sin(x),dx
Reescrevendo o lado esquerdo,
e^2y-ye^y =e^y-y,e^-y

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integrall(e^y-y,e^-yr)dy =integral 2sin(x),dx
Para o integrando em y:
integral e^y,dy=e^y, integral y,e^-y,dy =-,(y+1)e^-y
(por partes).
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integrall(e^y-y,e^-yr)dy =e^y + (y+1)e^-y+C1
No lado direito
integral 2sin(x),dx =-2cos(x)+C2

Passo 5

Igualamos as primitivas (absorvendo constantes numa só C):
e^y + (y+1)e^-y =-2cos(x)+C

Passo 6

Usamos y(0)=0. Em x=0 e y=0:
e^0+(0+1)e^0=1+1=2, -2cos(0)+C=-2cdot1+C=C-2
Portanto 2=C-2, isto é C=4.

Passo 7

A solução implícita fica
e^y + (y+1)e^-y = 4 ;-;2cos(x)

Resposta

A solução do PVI é dada implicitamente por
boxed,e^y + (y+1)e^-y = 4 - 2cos(x),, y(0)=0,

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