resolva cada PVI.
l x y^prime prime+y^prime=0, para x>0 y(1)=1 e y^prime(1)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI
x,y'' + y' = 0, x>0
com y(1)=1 e y'(1)=1. Essa é uma EDO de 2ª ordem linear que não envolve y explicitamente, então vamos usar a redução de ordem definindo p(x)=y'(x).

Passo 2

Como p=y', temos y''=dp/dx. Substituindo na equação,
x,dpdx + p = 0
Essa é uma EDO de 1ª ordem linear homogênea em p.

Passo 3

Reescrevendo em forma separável,
dpdx = -px Longrightarrow dpp = -dxx
Integrando ambos os lados,
ln|p| = -ln x + C1 Longrightarrow p(x) = C1x

Passo 4

Como p=y', temos
y' = C1x
Integramos de novo para obter
y(x) = C1,ln x + C2

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais. De y(1)=1 vem
C1ln 1 + C2 = 1 Longrightarrow C2 = 1
De y'(1)=1 temos
C11 = 1 Longrightarrow C1 = 1
Logo
y(x) = ln x + 1

Resposta

y(x)=ln x+1

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