Há três equações lineares independentes.
O objetivo é encontrar os valores de \,x_{1},x_{2},x_{3}\, que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]
Passo 2
Método escolhido (apenas aqui explico o método): vou usar eliminação de Gauss (eliminação por operações elementares entre linhas) porque é um método direto para transformar o sistema numa forma triangular e então aplicar substituição para achar as incógnitas. Breve explicação das operações elementares (essas são permitidas e preservam o conjunto de soluções):
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por constante não nula;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Vou montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações de linha passo a passo.
A matriz aumentada inicial (peguei os coeficientes e termos independentes do enunciado) é
Agora queremos eliminar o coeficiente de x_{2} na terceira linha, transformando a matriz em triangular superior (zeroes abaixo da diagonal).
Temos R_{2}=[0,\,-5,\,3\,|\,1] e R_{3}=[0,\,4,\,2\,|\,8]. Vou combinar as linhas de forma a anular o 4 em R_{3} sem introduzir frações desnecessárias: faço
R_{3}\leftarrow 5R_{3}+4R_{2}.
Isso porque 5\cdot4+4\cdot(-5)=20-20=0, cancelando o coeficiente de x_{2}.
Explico a ideia da substituição: começamos pela última equação (que contém só x_{3}), achamos x_{3} e voltamos para cima substituindo esse valor nas equações anteriores (substituição para trás).
Da última equação:
22x_{3}=44.
Dividindo ambos os lados por 22 (nunca dividir por zero — aqui 22\neq0):
x_{3}=\frac{44}{22}=2.]
Passo 6
Agora uso x_{3}=2 na segunda equação -5x_{2}+3x_{3}=1:
Substituindo:
-5x_{2}+3\cdot 2=1.
Calcule 3\cdot2=6, então
-5x_{2}+6=1.
Subtraindo 6 dos dois lados:
-5x_{2}=1-6=-5.
Dividindo por -5:
x_{2}=\frac{-5}{-5}=1.
Passo 7
Finalmente uso x_{2}=1 e x_{3}=2 na primeira equação x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1:
Substituindo:
x_{1}+2\cdot 1 - 2 =1.
Calcule 2\cdot1=2, então
x_{1}+2-2=1 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=1.
Passo 8
Verificação rápida (sempre bom checar): substituo (x_{1},x_{2},x_{3})=(1,1,2) nas três equações originais:
Primeira: 1+2\cdot1-2=1+2-2=1 OK.
Segunda: 2\cdot1-1+2=2-1+2=3 OK.
Terceira: -1+2\cdot1+3\cdot2=-1+2+6=7 OK.
Tudo confere, logo a solução está correta.