Resolva cada um dos seguintes sistemas:
\begin{array}{r} x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=1 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}=3 \\\\ -x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=7 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear cujas equações são:
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1,\\[4pt] 2x_{1}-x_{2}+x_{3}=3,\\[4pt] -x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=7. \end{cases}
Informações fornecidas:
  • As incógnitas são \,x_{1},x_{2},x_{3}\,.
  • Há três equações lineares independentes.
    O objetivo é encontrar os valores de \,x_{1},x_{2},x_{3}\, que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Método escolhido (apenas aqui explico o método): vou usar eliminação de Gauss (eliminação por operações elementares entre linhas) porque é um método direto para transformar o sistema numa forma triangular e então aplicar substituição para achar as incógnitas. Breve explicação das operações elementares (essas são permitidas e preservam o conjunto de soluções):
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por constante não nula;
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Vou montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações de linha passo a passo.
A matriz aumentada inicial (peguei os coeficientes e termos independentes do enunciado) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] -1 & 2 & 3 & 7 \end{array}\right].]

Passo 3

Primeiro objetivo: eliminar a incógnita x_{1} nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
Faço as operações:
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}, \qquad R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1}.
Calculemos termo a termo (mostrando cada conta):
  • Para R_{2}-2R_{1}: \
    \;2-2\cdot1=0,\qquad -1-2\cdot2=-1-4=-5,\qquad 1-2\cdot(-1)=1+2=3,\qquad 3-2\cdot1=3-2=1.
  • Para R_{3}+R_{1}: \
    \;-1+1=0,\qquad 2+2=4,\qquad 3+(-1)=2,\qquad 7+1=8.
Portanto a matriz após essas operações fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & -5 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 4 & 2 & 8 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora queremos eliminar o coeficiente de x_{2} na terceira linha, transformando a matriz em triangular superior (zeroes abaixo da diagonal).
Temos R_{2}=[0,\,-5,\,3\,|\,1] e R_{3}=[0,\,4,\,2\,|\,8]. Vou combinar as linhas de forma a anular o 4 em R_{3} sem introduzir frações desnecessárias: faço
R_{3}\leftarrow 5R_{3}+4R_{2}.
Isso porque 5\cdot4+4\cdot(-5)=20-20=0, cancelando o coeficiente de x_{2}.
Calculemos:
  • 5R_{3}=[0,\,20,\,10\,|\,40].
  • 4R_{2}=[0,\,4\cdot(-5),\,4\cdot3\,|\,4\cdot1]=[0,\,-20,\,12\,|\;4].
    Somando: 5R_{3}+4R_{2}=[0,\,0,\,22\,|\,44].
Assim a matriz torna-se
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & -5 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 22 & 44 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora a matriz está em forma triangular superior, equivalente ao sistema:
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1,\\[4pt] -5x_{2}+3x_{3}=1,\\[4pt] 22x_{3}=44. \end{cases}
Explico a ideia da substituição: começamos pela última equação (que contém só x_{3}), achamos x_{3} e voltamos para cima substituindo esse valor nas equações anteriores (substituição para trás).
Da última equação:
22x_{3}=44.
Dividindo ambos os lados por 22 (nunca dividir por zero — aqui 22\neq0):
x_{3}=\frac{44}{22}=2.]

Passo 6

Agora uso x_{3}=2 na segunda equação -5x_{2}+3x_{3}=1:
Substituindo:
-5x_{2}+3\cdot 2=1.
Calcule 3\cdot2=6, então
-5x_{2}+6=1.
Subtraindo 6 dos dois lados:
-5x_{2}=1-6=-5.
Dividindo por -5:
x_{2}=\frac{-5}{-5}=1.

Passo 7

Finalmente uso x_{2}=1 e x_{3}=2 na primeira equação x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1:
Substituindo:
x_{1}+2\cdot 1 - 2 =1.
Calcule 2\cdot1=2, então
x_{1}+2-2=1 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=1.

Passo 8

Verificação rápida (sempre bom checar): substituo (x_{1},x_{2},x_{3})=(1,1,2) nas três equações originais:
  • Primeira: 1+2\cdot1-2=1+2-2=1 OK.
  • Segunda: 2\cdot1-1+2=2-1+2=3 OK.
  • Terceira: -1+2\cdot1+3\cdot2=-1+2+6=7 OK.
    Tudo confere, logo a solução está correta.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=1
x_{3}=2

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