Resolva cada um dos seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores de
e
que satisfazem o sistema linear:
Informações relevantes fornecidas:
- As duas equações acima são as equações do sistema.
- As incógnitas são
e . - Não há nenhuma outra condição adicional.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem resolver ainda).
Vou usar o método da eliminação (também chamado de método de Gauss) porque é direto: multiplicamos equações para obter coeficientes iguais em uma incógnita e então somamos/subtraímos para eliminar essa incógnita, ficando com uma equação em uma única variável. Antes de eliminar, é conveniente remover frações para evitar contas desnecessárias. Isso facilita fazer tudo à mão na prova.
Explicando o método da eliminação em palavras simples:
- Passo A: Manipular (multiplicar) uma ou mais equações para que uma das incógnitas tenha coeficientes opostos entre duas equações.
- Passo B: Somar essas duas equações para cancelar essa incógnita.
- Passo C: Resolver a equação resultante para a outra incógnita.
- Passo D: Substituir o valor encontrado numa das equações originais para achar a primeira incógnita.
Vou aplicar exatamente isso.
Passo 3
Eliminar frações: multiplicar a segunda equação por
para ficar com coeficientes inteiros. Multiplicar uma equação por um número diferente de zero não altera o conjunto solução.
A segunda equação era
Multiplicando por
obtemos
Passo 4
Preparar eliminação de
.
A primeira equação é
A segunda (após multiplicar por
) é
Para eliminar
podemos fazer uma combinação linear: por exemplo multiplicar a segunda equação por
para obter coeficiente
em
, que é o oposto de
da primeira equação. Multiplicando a segunda por
obtemos:
Passo 5
Somar a primeira equação com a versão multiplicada da segunda para eliminar
.
Somando
No lado esquerdo
, então sobra apenas em
:
e no lado direito
Logo obtemos a equação
Dividindo ambos os lados por
(não zero) temos
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Substituir
numa das equações originais para encontrar
. Vou usar a primeira equação porque é simples:
Substituindo
:
Calcule
. Assim:
Subtrair
de ambos os lados:
Dividir por
:
Passo 7
Verificação rápida (substituir na segunda equação original para checar):
A segunda equação original é
Substituindo
e
:
Calcule termo a termo:
e
. Somando:
que coincide com o lado direito. Portanto a solução está correta.
Passo 8
Observação alternativa (opcional, só para conhecimento): poder-se-ia também usar a regra de Cramer. Para praticar, definindo a matriz dos coeficientes
calcula-se o determinante
, depois determinantes substituindo colunas por termos independentes; o resultado daria os mesmos valores
,
. Usei eliminação porque é mais direto e exige menos cálculo de determinantes à mão.]