Resolva cada um dos seguintes sistemas:
\begin{aligned} 4 x_{1}+3 x_{2} & =4 \\\ \frac{2}{3} x_{1}+4 x_{2} & =3\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de x_{1} e x_{2} que satisfazem o sistema linear:
4x_{1}+3x_{2}=4
\frac{2}{3}x_{1}+4x_{2}=3
Informações relevantes fornecidas:
  • As duas equações acima são as equações do sistema.
  • As incógnitas são x_{1} e x_{2}.
  • Não há nenhuma outra condição adicional.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem resolver ainda).
Vou usar o método da eliminação (também chamado de método de Gauss) porque é direto: multiplicamos equações para obter coeficientes iguais em uma incógnita e então somamos/subtraímos para eliminar essa incógnita, ficando com uma equação em uma única variável. Antes de eliminar, é conveniente remover frações para evitar contas desnecessárias. Isso facilita fazer tudo à mão na prova.
Explicando o método da eliminação em palavras simples:
  • Passo A: Manipular (multiplicar) uma ou mais equações para que uma das incógnitas tenha coeficientes opostos entre duas equações.
  • Passo B: Somar essas duas equações para cancelar essa incógnita.
  • Passo C: Resolver a equação resultante para a outra incógnita.
  • Passo D: Substituir o valor encontrado numa das equações originais para achar a primeira incógnita.
    Vou aplicar exatamente isso.

Passo 3

Eliminar frações: multiplicar a segunda equação por 3 para ficar com coeficientes inteiros. Multiplicar uma equação por um número diferente de zero não altera o conjunto solução.
A segunda equação era
\frac{2}{3}x_{1}+4x_{2}=3.
Multiplicando por 3 obtemos
2x_{1}+12x_{2}=9.

Passo 4

Preparar eliminação de x_{1}.
A primeira equação é
4x_{1}+3x_{2}=4.
A segunda (após multiplicar por 3) é
2x_{1}+12x_{2}=9.
Para eliminar x_{1} podemos fazer uma combinação linear: por exemplo multiplicar a segunda equação por -2 para obter coeficiente -4 em x_{1}, que é o oposto de 4 da primeira equação. Multiplicando a segunda por -2 obtemos:
-4x_{1}-24x_{2}=-18.

Passo 5

Somar a primeira equação com a versão multiplicada da segunda para eliminar x_{1}.
Somando
(4x_{1}+3x_{2}) + (-4x_{1}-24x_{2}) = 4 + (-18).
No lado esquerdo 4x_{1}+(-4x_{1})=0, então sobra apenas em x_{2}:
3x_{2}-24x_{2} = -21x_{2}
e no lado direito
4-18=-14.
Logo obtemos a equação
-21x_{2}=-14.
Dividindo ambos os lados por -21 (não zero) temos
x_{2}=\frac{-14}{-21}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 7:
x_{2}=\frac{2}{3}.

Passo 6

Substituir x_{2} numa das equações originais para encontrar x_{1}. Vou usar a primeira equação porque é simples:
4x_{1}+3x_{2}=4.
Substituindo x_{2}=\frac{2}{3}:
4x_{1}+3\cdot\frac{2}{3}=4.
Calcule 3\cdot\frac{2}{3}=\frac{6}{3}=2. Assim:
4x_{1}+2=4.
Subtrair 2 de ambos os lados:
4x_{1}=2.
Dividir por 4:
x_{1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Verificação rápida (substituir na segunda equação original para checar):
A segunda equação original é
\frac{2}{3}x_{1}+4x_{2}=3.
Substituindo x_{1}=\frac{1}{2} e x_{2}=\frac{2}{3}:
\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}+4\cdot\frac{2}{3}.
Calcule termo a termo: \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3} e 4\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{3}. Somando:
\frac{1}{3}+\frac{8}{3}=\frac{9}{3}=3,
que coincide com o lado direito. Portanto a solução está correta.

Passo 8

Observação alternativa (opcional, só para conhecimento): poder-se-ia também usar a regra de Cramer. Para praticar, definindo a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]\tfrac{2}{3} & 4\end{pmatrix},
calcula-se o determinante \det(A), depois determinantes substituindo colunas por termos independentes; o resultado daria os mesmos valores \;x_{1}=\tfrac{1}{2}, \;x_{2}=\tfrac{2}{3}. Usei eliminação porque é mais direto e exige menos cálculo de determinantes à mão.]

Resposta

x_{1}=\dfrac{1}{2}
x_{2}=\dfrac{2}{3}

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