Resolva cada um dos sistemas por eliminação de Gauss.
l2 x+3 y+4 z=53 3 x+5 y-4 z=2 4 x+7 y-2 z=31

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear por eliminação de Gauss:
O conteúdo é eliminação de Gauss, isto é, aplicar operações de linha na matriz aumentada para obter uma forma triangular superior e depois fazer retro-substituição.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e escolhemos a11=2 como pivô para zerar as entradas abaixo na coluna 1.
[ccc|c 2 & 3 & 4 & 53 3 & 5 & -4 & 2 4 & 7 & -2 & 31 ]
Aplicamos
L2 L2 - 32L1, L3 L3 - 2,L1,
para anular as entradas 3 e 4 abaixo do pivô:
L2:;3 - tfrac32cdot 2 =0, 5 - tfrac32cdot3 = tfrac12, -4 - tfrac32cdot4 = -10, 2 - tfrac32cdot53 = -tfrac1552
L3:;4 -2cdot2=0, 7 -2cdot3=1, -2 -2cdot4 = -10, 31 -2cdot53 = -75
Fica
[ccc|c 2 & 3 & 4 & 53 0 & tfrac12 & -10 & -tfrac1552 0 & 1 & -10 & -75 ]

Passo 3

Agora usamos o pivô a22=tfrac12 para zerar a entrada abaixo dele na coluna 2, com
L3 L3 - 1tfrac12L2 = L3 -2,L2
Calculamos em L3:
1 -2cdottfrac12 =0, -10 -2cdot(-10) =10, -75 -2cdotl(-tfrac1552r) = -75 +155 =80
A matriz fica triangular:
[ccc|c 2 & 3 & 4 & 53 0 & tfrac12 & -10 & -tfrac1552 0 & 0 & 10 & 80 ]

Passo 4

Interpretamos agora o sistema triangular equivalente:
2x +3y +4z =53, tfrac12,y -10z = -tfrac1552, 10z = 80
Da última equação vem imediatamente
z = 8010 = 8

Passo 5

Na segunda equação substituímos z=8:
tfrac12,y -10cdot 8 = -tfrac1552 Longrightarrow tfrac12,y -80 = -tfrac1552 Longrightarrow tfrac12,y = -tfrac1552 + tfrac1602 = tfrac52 Longrightarrow y = 5

Passo 6

Finalmente, na primeira equação com y=5 e z=8:
2x +3cdot5 +4cdot8 =53 Longrightarrow 2x +15 +32 =53 Longrightarrow 2x =6 Longrightarrow x =3

Resposta

(x,y,z) = (3,5,8)

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