Resolva os sistemas abaixo utilizando o Método da Matriz Inversa.
Passo 1
Beleza, temos um sistema de equações com duas variáveis, x e y. Vamos resolver esse sistema usando o Método da Matriz Inversa, que é uma técnica da álgebra linear. Para isso, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular a sua inversa e depois usar essa inversa para encontrar os valores de x e y.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. O sistema dado é:
x + y = 2 5x + 6y = 9
Podemos representar isso como:
A cdot x y = 2 9
Onde a matriz A é:
A = 1 & 1 5 & 6 , e o vetor $b$ é 2 9 é
Passo 3
Agora, vamos calcular a inversa da matriz A, se ela existir. Para isso, precisamos primeiro encontrar o determinante de A. O determinante de uma matriz 2 times 2 a & b c & d é dado por ad - bc.
No nosso caso:
det(A) = (1)(6) - (1)(5) = 6 - 5 = 1
Como o determinante é diferente de zero (det(A) = 1 neq 0), a matriz inversa A^-1 existe.
Passo 4
Vamos calcular a inversa de A. A fórmula para a inversa de uma matriz 2 times 2 é:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Substituindo os valores da matriz A:
A^-1 = 11 6 & -1 -5 & 1 = 6 & -1 -5 & 1
Passo 5
Agora, para encontrar o vetor das soluções x y , basta multiplicar a inversa da matriz A pelo vetor b: