Resolva os sistemas abaixo utilizando o Método da Matriz Inversa.
x+y & =2 5 x+6 y & =9

Passo 1

Beleza, temos um sistema de equações com duas variáveis, x e y. Vamos resolver esse sistema usando o Método da Matriz Inversa, que é uma técnica da álgebra linear. Para isso, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular a sua inversa e depois usar essa inversa para encontrar os valores de x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. O sistema dado é:
x + y = 2 5x + 6y = 9
Podemos representar isso como:
A cdot x y = 2 9
Onde a matriz A é:
A = 1 & 1 5 & 6 , e o vetor $b$ é 2 9 é

Passo 3

Agora, vamos calcular a inversa da matriz A, se ela existir. Para isso, precisamos primeiro encontrar o determinante de A. O determinante de uma matriz 2 times 2 a & b c & d é dado por ad - bc.
No nosso caso:
det(A) = (1)(6) - (1)(5) = 6 - 5 = 1
Como o determinante é diferente de zero ( det(A) = 1 neq 0), a matriz inversa A^-1 existe.

Passo 4

Vamos calcular a inversa de A. A fórmula para a inversa de uma matriz 2 times 2 é:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Substituindo os valores da matriz A:
A^-1 = 11 6 & -1 -5 & 1 = 6 & -1 -5 & 1

Passo 5

Agora, para encontrar o vetor das soluções x y , basta multiplicar a inversa da matriz A pelo vetor b:
x y = A^-1 cdot 2 9 = 6 & -1 -5 & 1 cdot 2 9
Fazendo a multiplicação:
x = (6)(2) + (-1)(9) = 12 - 9 = 3
y = (-5)(2) + (1)(9) = -10 + 9 = -1

Resposta

A solução do sistema é x = 3 e y = -1.

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