Resolva cada um dos sistemas homogêneos abaixo.
\left\{\begin{aligned} x+y+2 z & =0 \\\\ 3 x+3 z+3 w & =0 \\\\ 2 x+y+3 z+w & =0 \\\ x+2 y+3 z-w & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema homogêneo
\begin{cases} x + y + 2z = 0,\\\\ 3x + 3z + 3w = 0,\\\\ 2x + y + 3z + w = 0,\\\ x + 2y + 3z - w = 0, \end{cases}
ou seja, encontrar o espaço nulo da matriz dos coeficientes. Vamos usar eliminação de Gauss e parametrizar as incógnitas livres.

Passo 2

Usamos a primeira equação para isolar x:
x = -\,y - 2z.

Passo 3

Substituímos x = -y - 2z nas outras três equações:
- Na segunda:
3(-y - 2z) + 3z + 3w = 0 \;\Longrightarrow\;-3y - 6z +3z +3w = 0 \;\Longrightarrow\;-y - z + w = 0.
- Na terceira:
2(-y - 2z) + y + 3z + w = 0 \;\Longrightarrow\;-2y -4z + y +3z + w = 0 \;\Longrightarrow\;-y - z + w = 0.
- Na quarta:
(-y - 2z) + 2y + 3z - w = 0 \;\Longrightarrow\;y + z - w = 0.
Observamos que as três reduções levam à mesma relação
-y - z + w = 0.

Passo 4

Da relação
-y - z + w = 0
segue-se imediatamente
w = y + z.

Passo 5

Temos duas incógnitas livres, escolhemos parâmetros \;y = s,\;z = t. Então,
x = -\,y - 2z = -s -2t, \qquad w = y + z = s + t.

Passo 6

Escrevendo o vetor solução (x,y,z,w) em função de s e t, obtemos
(x,y,z,w) = s(-1,\,1,\,0,\,1) + t(-2,\,0,\,1,\,1).
Logo, a solução geral é o espaço gerado pelos vetores (-1,1,0,1) e (-2,0,1,1).

Resposta

A solução geral do sistema é
\{\,s(-1,1,0,1) + t(-2,0,1,1)\mid s,t\in\mathbb{R}\}.

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