Resolva cada um dos sistemas homogêneos abaixo.
\left\{\begin{array}{l}2 x+y+z=0 \\\\ 4 x+2 y+z=0 \\\\ 6 x+3 y+z=0 \\\\ 6 x+4 y+z=0\end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema homogêneo
\begin{cases} 2x + y + z = 0,\\\\ 4x + 2y + z = 0,\\\\ 6x + 3y + z = 0,\\\\ 6x + 4y + z = 0. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistemas lineares homogêneos por eliminação de Gauss, buscando o espaço nulo da matriz de coeficientes.

Passo 2

Subtraindo 2 vezes a primeira equação da segunda, obtemos
(4x+2y+z)-2(2x+y+z)=0\quad\Longrightarrow\quad -z=0
Logo z=0.

Passo 3

Subtraindo 3 vezes a primeira equação da quarta, temos
(6x+4y+z)-3(2x+y+z)=0\quad\Longrightarrow\quad y-2z=0
Como z=0, isso dá y=0.

Passo 4

Substituindo y=0 e z=0 na primeira equação
2x + y + z = 0
vem
2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.

Resposta

A única solução é a trivial: (x,y,z)=(0,0,0).

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