Seja A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 4 & 5 \\\\ 0 & 0 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right] e \lambda um escalar. Encontre todoas as soluções de A x=\lambda x.
Para \lambda=1.

Passo 1

O enunciado pede as soluções não-triviais de
A x = \lambda x
quando \lambda = 1. Aqui A é uma matriz triangular superior de ordem 4, então seus autovalores são os elementos da diagonal principal. Para \lambda=1 queremos resolver o sistema homogêneo
(A - I)x = 0.

Passo 2

Calculemos A - I. Como I é a identidade 4\times 4, temos
A - I = \begin{pmatrix} 1-1 & 2 & -3 & 1\\\\ 0 & 2-1 & 4 & 5\\\\ 0 & 0 & -3-1 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -3 & 1\\\\ 0 & 1 & 4 & 5\\\\ 0 & 0 & -4 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Escrevemos o sistema (A - I)x=0 em termos das componentes x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T:
\begin{cases} 2x_2 \;-\; 3x_3 \;+\; x_4 = 0,\\\ x_2 \;+\; 4x_3 \;+\; 5x_4 = 0,\\\\ -4x_3 \;+\; 4x_4 = 0,\\\\ 3x_4 = 0. \end{cases}

Passo 4

A partir da última equação 3x_4=0 vem
x_4 = 0.
Substituindo em -4x_3 + 4x_4 = 0 obtemos
-4x_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_3 = 0.
Em seguida, da segunda equação
x_2 + 4\cdot 0 + 5\cdot 0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_2 = 0.
A primeira equação então fica 2\cdot0 -3\cdot0 +0 = 0, que já está satisfeita.

Passo 5

Até aqui x_2=x_3=x_4=0. A variável x_1 não aparece em nenhuma equação, logo é livre. Chamando esse parâmetro de t\in\mathbb{R}, as soluções são
x = \begin{pmatrix} x_1\x_2\x_3\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t\\\ 0\\\ 0\\\ 0 \end{pmatrix}, \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

As soluções de A x = 1\cdot x são todos os vetores da forma
x = t\,(1,0,0,0)^T,\quad t\in\mathbb{R}.

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