Seja A uma matriz 4 \times 8, a qual é a matriz dos coeficientes de um sistema homogêneo. Sabendo que existem 5 variáveis livres na solução do sistema, determine o posto( A ).

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de dimensões 4\times8 que serve como matriz de coeficientes de um sistema homogêneo A x = 0 e informa que a solução tem 5 variáveis livres. Vamos calcular o posto de A usando o teorema dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Num sistema homogêneo com matriz m\times n, o número total de variáveis é n. Aqui n = 8.

Passo 3

As variáveis livres correspondem à dimensão do núcleo de A \dim(\ker A), dada por \dim(\ker A) = 5.

Passo 4

Pelo teorema do núcleo e imagem (rank–nullity) vale
\operatorname{rank}(A) + \dim(\ker A) = n.

Passo 5

Substituindo \dim(\ker A)=5 e n=8, obtemos
\operatorname{rank}(A) = 8 - 5 = 3.

Resposta

O posto de A é 3.

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