Resolva cada um dos sistemas homogêneos abaixo.
\left\{\begin{array}{l}2 x+y+2 z=0 \\\\ 4 x+2 y+4 z=0 \\\\ 6 x+3 y+6 z=0 \\\\ 6 x+5 y+6 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral do sistema homogêneo
\begin{cases} 2x + y + 2z = 0,\\\\ 4x + 2y + 4z = 0,\\\\ 6x + 3y + 6z = 0,\\\\ 6x + 5y + 6z = 0, \end{cases}
usando eliminação de Gauss para identificar as variáveis pivô e parametrizar as variáveis livres.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes e aplicamos operações de linha para escalonar:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ 4 & 2 & 4\\\\ 6 & 3 & 6\\\\ 6 & 5 & 6 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ 4-2\cdot2 & 2-2\cdot1 & 4-2\cdot2\\\\ 6-3\cdot2 & 3-3\cdot1 & 6-3\cdot2\\\\ 6-3\cdot2 & 5-3\cdot1 & 6-3\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Agora trocamos a segunda linha com a quarta para evidenciar o segundo pivô:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

As linhas escalonadas correspondem às equações
\begin{cases} 2x + y + 2z = 0,\\\\ 2y = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem y=0.
Substituindo em 2x + y + 2z = 0 obtemos
2x + 2z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\,z.

Passo 4

Como z não aparece em nenhuma coluna de pivô, tomamos
z = t,\quad t\in\mathbb{R}.
Então
x = -\,t, \quad y = 0, \quad z = t.
A solução geral do sistema é
(x,y,z) = (-t,\,0,\,t), \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\{(x,y,z)\mid (x,y,z)=(-t,0,t),\;t\in\mathbb{R}\}.

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