Resolva com condição inicial.
\left(1+x^{4}\right) d y+x\left(1+4 y^{2}\right) d x=0, \quad y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(1+x^{4}\bigr)\,dy + x\bigl(1+4y^{2}\bigr)\,dx = 0
com condição inicial y(1)=0. Trata-se de uma equação separável: podemos escrever
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{x\bigl(1+4y^{2}\bigr)}{1+x^{4}}
e separar as variáveis y e x.

Passo 2

Separamos variáveis:
\int \frac{dy}{1+4y^{2}} = - \int \frac{x}{1+x^{4}}\,dx.

Passo 3

Calculamos cada integral por substituição:
  1. Para \displaystyle \int \frac{dy}{1+4y^{2}}, faça u=2y, du=2\,dy:
\int \frac{dy}{1+4y^{2}} = \frac12 \int \frac{du}{1+u^{2}} = \frac12 \arctan(u) = \frac12 \arctan(2y).
  1. Para \displaystyle \int \frac{x}{1+x^{4}}\,dx, faça t=x^{2}, dt=2x\,dx:
\int \frac{x}{1+x^{4}}\,dx = \frac12 \int \frac{dt}{1+t^{2}} = \frac12 \arctan(t) = \frac12 \arctan(x^{2}).
Assim a igualdade das integrais dá
\frac12 \arctan(2y) = -\,\frac12 \arctan(x^{2}) + C.

Passo 4

Multiplique por 2 e redefina a constante:
\arctan(2y) + \arctan(x^{2}) = C_{1}.
Usando y(1)=0 temos \arctan(0)+\arctan(1)=0+\frac{\pi}{4}=C_{1}. Logo
\arctan(2y) = \frac{\pi}{4} \;-\;\arctan(x^{2}).

Passo 5

Aplicando tangente em ambos os lados e usando \tan(A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\,\tan B} com \tan(\pi/4)=1 e \tan(\arctan(x^{2}))=x^{2}, obtemos
2y = \tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}-\arctan(x^{2})\bigr) = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}},
portanto
y = \frac{1 - x^{2}}{2\,(1 + x^{2})}.

Resposta

y(x) = \frac{1 - x^{2}}{2\,(1 + x^{2})}.

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