Resolva com condição inicial.
y d y=4 x\left(y^{2}+1\right)^{1 / 2} d x, \quad y(1)=0

Passo 1

Temos a equação diferencial
y\,dy = 4x\sqrt{y^{2}+1}\,dx
com condição inicial y(1)=0.
O conteúdo é de equações diferenciais de variável separável: vamos separar y de um lado e x de outro, integrar e usar a condição para determinar a constante de integração.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}\,dy = 4x\,dx.
Agora integramos ambos os lados.

Passo 3

Calcule cada integral:
– À esquerda, use u = y^{2}+1, du = 2y\,dy, logo
\int \frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}\,dy = \int \frac{1}{2}\,u^{-\tfrac12}\,du = \sqrt{u} = \sqrt{y^{2}+1}.
– À direita,
\int 4x\,dx = 2x^{2} + C.
Assim fica
\sqrt{y^{2}+1} = 2x^{2} + C.

Passo 4

Use a condição inicial y(1)=0:
\sqrt{0^{2}+1} = 2\cdot1^{2} + C \quad\Longrightarrow\quad 1 = 2 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -1.
Portanto
\sqrt{y^{2}+1} = 2x^{2} - 1.

Passo 5

Eleve ao quadrado para isolar y:
y^{2}+1 = (2x^{2}-1)^{2} = 4x^{4} - 4x^{2} + 1 \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = 4x^{2}(x^{2}-1).
Logo
y = \pm 2x\sqrt{x^{2}-1},
definida para \lvert x\rvert\ge1. As duas escolhas de sinal passam por (1,0) porque y(1)=0.

Resposta

\sqrt{y^{2}+1} = 2x^{2}-1,
ou explicitamente
y(x)=\pm 2x\sqrt{x^{2}-1},\quad |x|\ge1.

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