Resolva a equação diferencial com substituição apropriada.
-y d x+(x+\sqrt{x y}) d y=0
-y d x+(x+\sqrt{x y}) d y=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Note que ambos os termos
e
são homogêneos de grau 1. Assim, podemos usar a substituição típica de equações homogêneas
para transformar a ODE em separável.
Passo 2
Primeiro escrevemos a equação na forma
. Da equação dada,
Passo 3
Como é homogênea, fazemos
. Então
Substituindo em
, obtemos
Rearranjando,
Passo 4
Agora separamos variáveis:
Observe que
Integrando ambos os lados:
Passo 5
Volta a variável
usando
. Temos
Repare que
. Logo
Resposta
A solução geral é
com
constante de integração.