Resolva as E. D. O.s de 1a. ordem abaixo e os P.V.I usando a técnica que for conveniente.
y(1+2 x y) d x+x(1-2 x y) d y=0 (faça a substituição u=2 x y primeiro.)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
yl(1+2xyr),dx + xl(1-2xyr),dy = 0
e sugere a substituição u = 2xy. Vamos usar essa mudança de variável para transformar a EDO em uma equação separável.

Passo 2

Com u = 2xy, temos
du = 2l(x,dy + y,dxr) Longrightarrow x,dy + y,dx = du2
Também expressamos y em função de u e x:
y = u2x
Agora escrevemos a EDO original de forma a usar essas expressões. Começamos substituindo em
y,(1+u),dx + x,(1 - u),dy = 0
o par x,dy + y,dx = du/2.

Passo 3

Reescrevendo
y,(1+u),dx + x,(1-u),dy = (x,dy + y,dx) + u,(y,dx - x,dy) = du2 + ul(y,dx - x,dyr)
Mas observe que
y,dx - x,dy = -(x,dy - y,dx) = -l(x,dy + y,dx - 2y,dxr) = -du2 + 2y,dx
Substituindo e simplificando (ou, de forma mais direta, usando o método do quociente via dy/dx) chega-se a
(1-u),dudx + 4u,y = 0
Agora substituímos y = u/(2x) para obter uma equação em u e x:

Passo 4

Com y = u2x temos 4u,y = 4u^22x = 2u^2x. A equação fica
(1-u),dudx + 2u^2x = 0 Longrightarrow dudx = -2u^2x(1-u)
Isto é separável:
1-uu^2,du = -2,dxx
Integramos dos dois lados:
integral!l(u^-2 - u^-1r),du = integral!-2,dxx Longrightarrow l(-u^-1 - ln|u|r) = -2ln|x| + C
Multiplicando por -1:
1u + ln|u| = 2ln|x| + C'

Passo 5

Voltando a u = 2xy, temos
lnl|2xyr| - 2ln|x| + 12xy = C' Longrightarrow lnl|2yxr| + 12xy = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

boxedlnl|2yxr| + 12xy = C

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