Resolva as E. D. O.s de 1a. ordem abaixo e os P.V.I usando a técnica que for conveniente.
x d y=((x sen x)-y) d x

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial de primeira ordem pra resolver:
x , dy = (x cdot sin x - y) , dx
Vamos usar técnicas de equações lineares para achar a solução geral e também resolver o problema com condição inicial, se houver.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação linear:
dydx + P(x) cdot y = Q(x)
Dividindo ambos os lados por x, a gente tem:
dydx + 1x cdot y = sin x
Aqui, P(x) = 1x e Q(x) = sin x.

Passo 3

Agora, precisamos achar o fator integrante, que é e^integral P(x) dx . Então:
mu(x) = e^integral 1x dx = e^ln x = x
Multiplicando toda a equação por mu(x) = x :
x cdot dydx + y = x cdot sin x

Passo 4

Perceba que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto x cdot y. Então podemos escrever:
ddx(x cdot y) = x cdot sin x
Integrando ambos os lados:
x cdot y = integral x cdot sin x , dx
Para resolver a integral à direita, usamos integração por partes:
integral x cdot sin x , dx = -x cdot cos x + sin x + C
Portanto:
x cdot y = -x cdot cos x + sin x + C

Resposta

Finalmente, isolando y:
y = -cos x + sin xx + Cx
Essa é a solução geral da equação diferencial.

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