Resolva a E.D.O, utilizando o método de separação de variáveis (ou equações separáveis).
e^x y^prime-y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa E.D.O usando o método de separação de variáveis. A equação que temos é:
e^x y^prime - y^2 = 0
Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre como separar as variáveis para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar $ y’ $ na equação para facilitar a separação das variáveis. A equação original é:
y'
Adicionando $ y^{2} $ dos dois lados:
e^x y^prime - y^2 = 0
Agora, dividindo ambos os lados por $ e^{x} $:
y^2

Passo 3

Vamos reescrever isso em termos de derivadas para facilitar a separação:
dydx = y^2 e^-x
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Isso significa que vamos colocar todas as funções de $ y $ de um lado e todas as funções de $ x $ de outro lado da equação.

Passo 4

Separando as variáveis:
dyy^2 = e^-x dx
Agora temos uma expressão onde podemos integrar ambos os lados facilmente.

Passo 5

Vamos integrar os dois lados da equação:
integral dyy^2 = integral e^-x dx
Calculando as integrais:
  • Do lado esquerdo:
integral y^-2 dy = -y^-1 + C1
  • Do lado direito:
integral e^-x dx = -e^-x + C2

Passo 6

Juntando as integrais e as constantes de integração (podemos combinar $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma só, chamando de $ C $):
C1
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
C2

Passo 7

Agora, vamos resolver para $ y $:
y
Podemos reescrever $ -C $ como uma nova constante $ C’ $, mas para simplificar, deixamos assim mesmo.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 1e^-x + C
Onde $ C $ é uma constante de integração arbitrária.

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