Resolva a E.D.O, utilizando o método de separação de variáveis (ou equações separáveis).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa E.D.O usando o método de separação de variáveis. A equação que temos é:
Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre como separar as variáveis para integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar $ y’ $ na equação para facilitar a separação das variáveis. A equação original é:
Adicionando $ y^{2} $ dos dois lados:
Agora, dividindo ambos os lados por $ e^{x} $:
Passo 3
Vamos reescrever isso em termos de derivadas para facilitar a separação:
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Isso significa que vamos colocar todas as funções de $ y $ de um lado e todas as funções de $ x $ de outro lado da equação.
Passo 4
Separando as variáveis:
Agora temos uma expressão onde podemos integrar ambos os lados facilmente.
Passo 5
Vamos integrar os dois lados da equação:
Calculando as integrais:
- Do lado esquerdo:
- Do lado direito:
Passo 6
Juntando as integrais e as constantes de integração (podemos combinar $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma só, chamando de $ C $):
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
Passo 7
Agora, vamos resolver para $ y $:
Podemos reescrever $ -C $ como uma nova constante $ C’ $, mas para simplificar, deixamos assim mesmo.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante de integração arbitrária.