Use os Teoremas Fundamentais do Cálculo para calcular:
dd x integral-3^x^4 cos (t^2+1) d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de uma integral que vai de -3 até da função . Isso está relacionado aos Teoremas Fundamentais do Cálculo, que conectam derivadas e integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz. Ele basicamente conecta a operação de derivar com a de integrar. Especificamente, se temos uma função como , a derivada em relação a é . Isso significa que a derivada da integral depende do valor da função no limite superior multiplicado pela derivada desse limite.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é ddx integral-3^x^4 cos(t^2 + 1) , dt = cos((x^4)^2 + 1) cdot ddx(x^4) e o limite superior é . Então, seguindo o teorema, a derivada será:

Passo 4

Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, calculamos (x^4)^2 = x^8 :
cos(x^8 + 1) cdot ddx(x^4)
Então, a expressão fica:
ddx(x^4) = 4x^3
Agora, derivamos :

Passo 5

Agora, basta multiplicar as duas partes que encontramos:
cos(x^8 + 1) cdot 4x^3 = 4x^3 cos(x^8 + 1)

Resposta

A derivada é .

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