Um tanque de água possui o formato de uma pirâmide de base quadrada, invertida, com lado da base de 2 m e altura de 4 m . Se a água esta sendo bombeada para o tanque a uma taxa de 300 litros / min, encontre a taxa na o nível de água está aumentando quando a água estiver a uma profundidade de 2 m .

Passo 1

O enunciado descreve um tanque em forma de pirâmide quadrada invertida com lado da base 2 m e altura total 4 m. A água atinge uma profundidade h (medida a partir do vértice) e entra a uma vazão constante. Vamos relacionar volume V em função de h, depois diferenciar para achar dhdt.

Passo 2

Pela semelhança de triângulos na pirâmide, a aresta da seção quadrada no nível h satisfaz
sh ;=;24;=;tfrac12,
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s = tfrac12,h

Passo 3

O volume de uma pirâmide de base quadrada de lado s e altura h é
V = 13,s^2,h
Substituindo s=tfrac12h,
V = 13,l(tfrac12hr)^2,h = 13,h^24,h = h^312

Passo 4

Derivando em relação ao tempo t,
dVdt = ddtl(h^312r) = 3h^212,dhdt = h^24,dhdt

Passo 5

No instante em que h=2 m e a vazão é 300 L/min, convertemos para metros cúbicos por minuto:
300 L/min = 300times0,001 m^3/min = 0,3 m^3/min
Substituindo dVdt=0,3 e h=2 em dVdt=h^24dhdt, obtemos
0,3 = 2^24,dhdt = 44,dhdt = 1cdotdhdt

Passo 6

Isolando dhdt,
dhdt = 0,3l(m/minr)

Resposta

dhdt=0,3 m/min.

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