Um tanque de água possui o formato de uma pirâmide de base quadrada, invertida, com lado da base de 2 m e altura de 4 m . Se a água esta sendo bombeada para o tanque a uma taxa de
, encontre a taxa na o nível de água está aumentando quando a água estiver a uma profundidade de 2 m .
Passo 1
O enunciado descreve um tanque em forma de pirâmide quadrada invertida com lado da base
m e altura total
m. A água atinge uma profundidade
(medida a partir do vértice) e entra a uma vazão constante. Vamos relacionar volume
em função de
, depois diferenciar para achar
.
Passo 2
Pela semelhança de triângulos na pirâmide, a aresta da seção quadrada no nível
satisfaz
logo
Passo 3
O volume de uma pirâmide de base quadrada de lado
e altura
é
Substituindo
,
Passo 4
Derivando em relação ao tempo
,
Passo 5
No instante em que
m e a vazão é
L/min, convertemos para metros cúbicos por minuto:
Substituindo
e
em
, obtemos
Passo 6
Isolando
,