Resolva as desigualdades:
\begin{aligned} & |x+1|>3 \\\ & |x-1|<3 \\\ & |2 x+1|<1 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver (achar os x que satisfazem) as três desigualdades:
\begin{aligned} & |x+1|>3,\\[4pt] & |x-1|<3,\\[4pt] & |2x+1|<1. \end{aligned}
Vou listar claramente o que é pedido:
  • Para cada desigualdade, encontrar todos os números reais x que a tornam verdadeira.
  • Entregar as soluções em forma de intervalo (ou união de intervalos) para facilitar a leitura.]

Passo 2

Conceito e regra básica (a “ferramenta” que usaremos). O valor absoluto de uma expressão |A| mede a distância do número A até 0 na reta numérica. As duas regras essenciais para desigualdades com valor absoluto são:
  1. Se b>0, então
|A|<b \quad\Longleftrightarrow\quad -b < A < b.
Isto significa: estar a uma distância menor que b de 0 é equivalente a ficar entre -b e b.
  1. Se b>0, então
|A|>b \quad\Longleftrightarrow\quad A < -b \\ \text{ ou }\\ A > b.
Isto significa: estar a uma distância maior que b de 0 é equivalente a ficar à esquerda de -b ou à direita de b.
Exemplo rápido para fixar: |y|<2 vira -2<y<2. Já |y|>2 vira y<-2 ou y>2.
Observação prática: quando a expressão dentro do módulo é uma expressão linear (como ax+b), aplicam-se as mesmas regras trocando A por ax+b, e depois resolve-se a desigualdade linear resultante (somando, subtraindo, dividindo por número positivo — lembrando que dividir por número positivo não muda o sentido da desigualdade).

Passo 3

Resolver a primeira desigualdade |x+1|>3.
Aplicando a regra 2 do passo anterior com A=x+1 e b=3:
|x+1|>3 \quad\Longleftrightarrow\quad x+1 < -3 \\ \text{ ou }\\ x+1 > 3.
Agora resolvo cada parte:
  • Para x+1 < -3: subtrai-se 1 dos dois lados, obtendo
x < -4.
  • Para x+1 > 3: subtrai-se 1 dos dois lados, obtendo
x > 2.
Portanto a solução da primeira desigualdade é a união dessas duas partes.

Passo 4

Interpretação e forma final da primeira solução.
Em notação de intervalos, a solução de |x+1|>3 é
(-\infty,-4)\cup(2,\infty).
Observações: os pontos -4 e 2 não pertencem à solução porque a desigualdade é estrita (>).

Passo 5

Resolver a segunda desigualdade |x-1|<3.
Aplicando a regra 1 do passo 2 com A=x-1 e b=3:
|x-1|<3 \quad\Longleftrightarrow\quad -3 < x-1 < 3.
Agora isolo x adicionando 1 aos três termos:
-3+1 < x < 3+1 \quad\Longleftrightarrow\quad -2 < x < 4.
Então já temos a solução em forma de desigualdade dupla.

Passo 6

Interpretação e forma final da segunda solução.
Em notação de intervalos, a solução de |x-1|<3 é
(-2,4).
Observação: os extremos -2 e 4 não estão incluídos porque a desigualdade é estrita (<).

Passo 7

Resolver a terceira desigualdade |2x+1|<1.
Aplicando a regra 1 do passo 2 com A=2x+1 e b=1:
|2x+1|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad -1 < 2x+1 < 1.
Isolo 2x subtraindo 1 dos três termos:
-1-1 < 2x < 1-1 \quad\Longleftrightarrow\quad -2 < 2x < 0.
Agora divido todos os termos por 2. Como 2>0, o sentido das desigualdades não muda:
-1 < x < 0.

Passo 8

Interpretação e forma final da terceira solução.
Em notação de intervalos, a solução de |2x+1|<1 é
(-1,0).
Observação: os extremos -1 e 0 não são inclusos porque a desigualdade é estrita.

Resposta

(-\infty,-4)\cup(2,\infty)
(-2,4)
(-1,0)

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