Resolva as desigualdades:
Passo 1
O enunciado pede para resolver (achar os
que satisfazem) as três desigualdades:
Vou listar claramente o que é pedido:
- Para cada desigualdade, encontrar todos os números reais
que a tornam verdadeira. - Entregar as soluções em forma de intervalo (ou união de intervalos) para facilitar a leitura.]
Passo 2
Conceito e regra básica (a “ferramenta” que usaremos). O valor absoluto de uma expressão
mede a distância do número
até
na reta numérica. As duas regras essenciais para desigualdades com valor absoluto são:
- Se
, então
Isto significa: estar a uma distância menor que
de
é equivalente a ficar entre
e
.
- Se
, então
Isto significa: estar a uma distância maior que
de
é equivalente a ficar à esquerda de
ou à direita de
.
Exemplo rápido para fixar:
vira
. Já
vira
ou
.
Observação prática: quando a expressão dentro do módulo é uma expressão linear (como
), aplicam-se as mesmas regras trocando
por
, e depois resolve-se a desigualdade linear resultante (somando, subtraindo, dividindo por número positivo — lembrando que dividir por número positivo não muda o sentido da desigualdade).
Passo 3
Resolver a primeira desigualdade
.
Aplicando a regra 2 do passo anterior com
e
:
Agora resolvo cada parte:
- Para
: subtrai-se dos dois lados, obtendo
- Para
: subtrai-se dos dois lados, obtendo
Portanto a solução da primeira desigualdade é a união dessas duas partes.
Passo 4
Interpretação e forma final da primeira solução.
Em notação de intervalos, a solução de
é
Observações: os pontos
e
não pertencem à solução porque a desigualdade é estrita
.
Passo 5
Resolver a segunda desigualdade
.
Aplicando a regra 1 do passo 2 com
e
:
Agora isolo
adicionando
aos três termos:
Então já temos a solução em forma de desigualdade dupla.
Passo 6
Interpretação e forma final da segunda solução.
Em notação de intervalos, a solução de
é
Observação: os extremos
e
não estão incluídos porque a desigualdade é estrita
.
Passo 7
Resolver a terceira desigualdade
.
Aplicando a regra 1 do passo 2 com
e
:
Isolo
subtraindo
dos três termos:
Agora divido todos os termos por
. Como
, o sentido das desigualdades não muda:
Passo 8
Interpretação e forma final da terceira solução.
Em notação de intervalos, a solução de
é
Observação: os extremos
e
não são inclusos porque a desigualdade é estrita.