Resolva as desigualdades.
-4 \leq 3 x^{2}-10 \leq 2

Passo 1

O enunciado pede resolver a desigualdade composta
-4 \leq 3x^{2}-10 \leq 2.
Ou seja, encontrar todos os números reais x que satisfazem ao mesmo tempo as duas desigualdades que estão encadeadas no enunciado. As informações dadas são exatamente essa expressão; não há outros dados.

Passo 2

Vamos separar a desigualdade composta em duas desigualdades simples e resolver cada uma delas.
Primeira desigualdade (a da esquerda):
-4 \leq 3x^{2}-10.
Resolver isso é fazer operações algébricas mantendo o sentido da desigualdade. Somando 10 em ambos os lados:
-4+10 \leq 3x^{2}\qquad\Rightarrow\qquad 6 \leq 3x^{2}.
Dividindo por 3 (número positivo, então o sentido não muda):
2 \leq x^{2}\quad\text{ou}\quad x^{2}\geq 2.
Agora interpretar x^{2}\geq 2: isso significa que a distância de x até 0 (ou seja, |x|) é pelo menos \sqrt{2}. Assim:
x \leq -\sqrt{2}\quad\text{ou}\quad x \geq \sqrt{2}.
(Dica rápida: para resolver x^{2}\geq a com a>0 obtém-se |x|\ge\sqrt{a}, que dá duas regiões fora do intervalo (-\sqrt{a},\sqrt{a}).)

Passo 3

Segunda desigualdade (a da direita):
3x^{2}-10 \leq 2.
Somando 10 em ambos os lados:
3x^{2} \leq 12.
Dividindo por 3:
x^{2} \leq 4.
Interpretando x^{2}\leq 4: isso significa |x|\leq 2, ou equivalentemente
-2 \leq x \leq 2.
(Dica: para x^{2}\le a com a\ge0 tem-se |x|\le\sqrt{a}, que dá um intervalo centrado em zero.)

Passo 4

Agora precisamos dos x que satisfazem ambas as condições ao mesmo tempo: a da Passo 2 e a da Passo 3. Em termos de valor absoluto, as duas condições são
|x| \geq \sqrt{2} \qquad\text{e}\qquad |x| \leq 2.
Portanto x deve satisfazer
\sqrt{2} \leq |x| \leq 2.
Isto descreve os x que estão a uma distância de 0 entre \sqrt{2} e 2, inclusive.

Passo 5

Para ter certeza, vale testar alguns valores rápidos:
  • x=0: 3\cdot0^{2}-10=-10, que não está entre -4 e 2 — logo 0 não vale.
  • x=2: 3\cdot4-10=12-10=2, que cabe (ponto extremo).
  • x=1{,}5 (ou 3/2): x^{2}=2{,}25 então 3x^{2}-10=6{,}75-10=-3{,}25, que está entre -4 e 2 — funciona.
  • x=3: 3\cdot9-10=27-10=17, não cabe — portanto fora.
Esses testes confirmam a consistência do resultado obtido.

Resposta

[ -2,\,-\sqrt{2}\,]\cup[\,\sqrt{2},\,2]

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