Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede: resolver a desigualdade
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão que aparece na desigualdade é
e o lado direito é . - A incógnita é
e queremos todos os valores reais de que satisfazem a desigualdade.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar tudo num só lado para termos uma função quadrática comparada com zero. Subtraio
dos dois lados:
Agora queremos encontrar os
tais que o polinômio
seja maior ou igual a zero.
Passo 3
Para estudar o sinal de uma parábola/quadrática é útil conhecer suas raízes (zeros). Vou usar a fórmula quadrática para achar as raízes de
. A fórmula é
onde
,
e
são os coeficientes da quadrática
, e
(discriminante) é
. Aqui:
Calculo o discriminante:
Como
é um quadrado perfeito, as raízes serão racionais.
Passo 4
Agora aplico a fórmula para obter as raízes:
Calculando as duas possibilidades:
Passo 5
Com as raízes achadas, fatoro o polinômio. Uma forma prática é usar as raízes para escrever fatores lineares; como
e
, uma fatoração conveniente é
(Verificação rápida:
.)
Passo 6
Agora analiso o sinal de
. Regras importantes e simples:
- O coeficiente líder
é positivo, então a parábola abre para cima. Isso significa que a expressão será positiva para muito à esquerda e muito à direita, e será negativa entre as raízes (se as raízes forem distintas). - As raízes
e são pontos onde a expressão vale zero, e como a desigualdade é essas raízes entram na solução.
Posso também checar sinal em cada intervalo:
- Para
(por exemplo ): . - Para
(por exemplo ): . - Para
(por exemplo ): .
Portanto
quando
ou
.