Resolva as desigualdades.
(2 x+5)\left(x-\frac{1}{2}\right) \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
(2x+5)\left(x-\tfrac{1}{2}\right)\leq 0.
Ou seja: encontrar todos os valores de x tais que o produto (2x+5)(x-\tfrac{1}{2}) seja menor ou igual a zero. As informações dadas são os dois factores lineares 2x+5 e x-\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Encontremos os zeros de cada factor (pontos em que cada factor é zero). Esses pontos dividem a reta real em intervalos onde o sinal do produto é constante.
Resolver 2x+5=0:
2x+5=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=-5 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{5}{2}.
Resolver x-\tfrac{1}{2}=0:
x-\tfrac{1}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Os pontos críticos são x=-\dfrac{5}{2} e x=\dfrac{1}{2}. Eles partem a reta real em três intervalos:
\big(-\infty,-\tfrac{5}{2}\big),\qquad \big(-\tfrac{5}{2},\tfrac{1}{2}\big),\qquad \big(\tfrac{1}{2},\infty\big).
Em cada intervalo o sinal de cada factor (e portanto do produto) é constante, porque os fatores são funções contínuas e só mudam de sinal nos zeros.

Passo 4

Escolhemos um ponto teste em cada intervalo e calculamos os sinais.
  1. Intervalo \big(-\infty,-\tfrac{5}{2}\big). Tome x=-3.
2(-3)+5=-6+5=-1<0, \qquad -3-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{7}{2}<0.
Produto: (-1)\cdot\left(-\tfrac{7}{2}\right)=\tfrac{7}{2}>0. Então o produto é positivo nesse intervalo.
  1. Intervalo \big(-\tfrac{5}{2},\tfrac{1}{2}\big). Tome x=0.
2(0)+5=5>0, \qquad 0-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2}<0.
Produto: 5\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{5}{2}<0. Então o produto é negativo nesse intervalo.
  1. Intervalo \big(\tfrac{1}{2},\infty\big). Tome x=1.
2(1)+5=7>0, \qquad 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}>0.
Produto: 7\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{7}{2}>0. Então o produto é positivo nesse intervalo.

Passo 5

Interpretando a desigualdade \leq 0: queremos os x onde o produto é negativo OU igual a zero. Dos testes acima, o produto é negativo em \big(-\tfrac{5}{2},\tfrac{1}{2}\big). Além disso, nos pontos x=-\tfrac{5}{2} e x=\tfrac{1}{2} o produto vale zero (porque um dos fatores é zero), e como a desigualdade permite igualdade, esses pontos também pertencem à solução.

Passo 6

Concluímos que a solução da desigualdade é o intervalo fechado que vai de -\dfrac{5}{2} até \dfrac{1}{2}, ou seja:
\left[-\dfrac{5}{2},\,\dfrac{1}{2}\right].

Resposta

\left[-\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{2}\right]

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