Resolva as desigualdades.
-3(x+2)(x-3)<0

Passo 1

O problema pede para resolver a desigualdade
-3(x+2)(x-3)<0.
Informações dadas e pontos importantes extraídos do enunciado:
  • A expressão é um produto de fatores multiplicado por -3.
  • A desigualdade é estrita ( <0), ou seja, valores que tornam a expressão igual a zero não pertencem à solução.
  • Os fatores que podem anular o produto são x+2 e x-3; portanto os pontos críticos são x=-2 e x=3.
  • A variável x varia sobre todos os números reais.

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: dividir ambos os lados da desigualdade por -3. Lembre-se da regra importante: ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Aplicando isso:
-3(x+2)(x-3)<0 \quad\Longrightarrow\quad (x+2)(x-3)>0.
Aqui trocamos < por > porque dividimos por -3.

Passo 3

Entender a condição (x+2)(x-3)>0: um produto de dois fatores é positivo quando os dois fatores têm o mesmo sinal — isto é, ambos positivos ou ambos negativos. Como a desigualdade é estrita, excluímos os pontos onde qualquer fator é zero ( x=-2 e x=3).

Passo 4

Dividimos a reta real em três intervalos usando os pontos críticos x=-2 e x=3:
(-\infty,-2),\qquad (-2,3),\qquad (3,\infty).
Em cada intervalo verificamos o sinal de cada fator. Podemos usar um ponto de teste em cada intervalo.
  • Intervalo (-\infty,-2). Escolha x=-3.
    x+2 = -3+2 = -1 < 0,\qquad x-3 = -3-3 = -6 < 0.
    Ambos fatores são negativos, então o produto é positivo. Logo (x+2)(x-3)>0 vale para x<-2.
  • Intervalo (-2,3). Escolha x=0.
    x+2 = 0+2 = 2 > 0,\qquad x-3 = 0-3 = -3 < 0.
    Os fatores têm sinais opostos, então o produto é negativo. Portanto (x+2)(x-3)>0 não vale para -2<x<3.
  • Intervalo (3,\infty). Escolha x=4.
    x+2 = 4+2 = 6 > 0,\qquad x-3 = 4-3 = 1 > 0.
    Ambos positivos, então o produto é positivo. Logo (x+2)(x-3)>0 vale para x>3.

Passo 5

Juntando os intervalos onde o produto é positivo e lembrando que os pontos onde o produto é zero não são incluídos (desigualdade estrita), obtemos a solução:
x\in(-\infty,-2)\cup(3,\infty).

Resposta

x\in(-\infty,-2)\cup(3,\infty)

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