Resolva as desigualdades.
(x-2)(x-4) \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade (x-2)(x-4)\geq 0.
Informações fornecidas:
  • A expressão dada é o produto de dois fatores lineares: (x-2) e (x-4).
  • Deve-se encontrar todos os números reais x que tornam esse produto maior ou igual a zero.

Passo 2

Ideia principal (uma pequena aula): para dois números reais A e B vale que A\cdot B\geq 0 exatamente quando ambos têm o mesmo sinal, isto é, ambos são não-negativos ( A\ge0 e B\ge0) ou ambos são não-positivos ( A\le0 e B\le0). No caso de um produto de fatores que dependem de x, isso significa que devemos dividir a reta real em intervalos determinados pelas raízes (zeros) dos fatores e verificar o sinal de cada fator em cada intervalo — é o chamado “quadro de sinais” ou “análise de sinais”. Zeros do produto ( =0) também satisfazem a desigualdade \ge0, então pontos onde um fator é zero entram na solução.

Passo 3

Encontrar os pontos que dividem a reta (os zeros dos fatores):
  • Resolver (x-2)=0 x=2.
  • Resolver (x-4)=0 x=4.
Esses dois pontos particionam a reta real em três intervalos: (-\infty,\,2), (2,\,4) e (4,\,\infty). Além disso, os pontos x=2 e x=4 precisam ser checados porque podem satisfazer a desigualdade (aqui o produto é zero nesses pontos).

Passo 4

Analisar o sinal de cada fator em cada intervalo — vou testar um valor simples em cada intervalo.
  • Para o intervalo (-\infty,\,2), escolha x=0.
    • (x-2) em x=0 é 0-2=-2 (negativo).
    • (x-4) em x=0 é 0-4=-4 (negativo).
    • Produto: negativo \times negativo = positivo. Logo o produto é >0 neste intervalo.
  • Para o intervalo (2,\,4), escolha x=3.
    • (x-2) em x=3 é 3-2=1 (positivo).
    • (x-4) em x=3 é 3-4=-1 (negativo).
    • Produto: positivo \times negativo = negativo. Logo o produto é <0 neste intervalo.
  • Para o intervalo (4,\,\infty), escolha x=5.
    • (x-2) em x=5 é 5-2=3 (positivo).
    • (x-4) em x=5 é 5-4=1 (positivo).
    • Produto: positivo \times positivo = positivo. Logo o produto é >0 neste intervalo.
Também verificar os pontos x=2 e x=4:
  • Em x=2 o produto é (2-2)(2-4)=0\cdot(-2)=0, que satisfaz \ge0.
  • Em x=4 o produto é (4-2)(4-4)=2\cdot0=0, que satisfaz \ge0.

Passo 5

Conclusão: o produto é não-negativo nos intervalos onde ambos os fatores têm o mesmo sinal, ou nos pontos onde o produto é zero. Pelos testes, isso ocorre em (-\infty,\,2] e em [4,\,\infty). Portanto a solução da desigualdade é a união desses conjuntos.

Resposta

(-\infty,2]\cup[4,\infty)

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