Usando a fórmula de Bháskara, determine, quando possível, as raízes reais das equações.
(x+8)^{2}+4 x=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar, usando a fórmula de Bháskara, as raízes reais da equação
(x+8)^{2}+4x=0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A equação fornecida é (x+8)^{2}+4x=0.
  • A tarefa é encontrar as raízes reais (os valores de x que satisfazem a equação), usando a fórmula de Bháskara (fórmula quadrática).

Passo 2

Primeiro, vou reescrever a equação na forma padrão de uma equação quadrática, que é
ax^{2}+bx+c=0,
porque a fórmula de Bháskara se aplica a essa forma. Expandindo (x+8)^{2} e somando 4x:
(x+8)^{2}+4x = x^{2}+16x+64+4x = x^{2}+20x+64.
Portanto a equação na forma padrão é
x^{2}+20x+64=0.
Aqui, os coeficientes são:
a=1,\qquad b=20,\qquad c=64.

Passo 3

Agora uma pequena aula sobre a fórmula de Bháskara (fórmula quadrática). Para qualquer equação quadrática na forma
ax^{2}+bx+c=0,
com a\neq0, as raízes (soluções) são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde o discriminante \Delta é
\Delta=b^{2}-4ac.
O que isso significa, em palavras:
  • a, b e c são os coeficientes da equação (já identificados).
  • \Delta indica a natureza das raízes:
    • Se \Delta>0, há duas raízes reais e distintas.
    • Se \Delta=0, há uma raiz real dupla (raízes iguais).
    • Se \Delta<0, não há raízes reais (as raízes são complexas conjugadas).
  • Para encontrar as raízes reais, calcula-se \Delta, toma-se \sqrt{\Delta} (quando \Delta\ge0) e aplica-se a fórmula acima.

Passo 4

Calcular o discriminante usando os coeficientes que encontramos:
\Delta=b^{2}-4ac = 20^{2}-4\cdot1\cdot64.
Faço as contas passo a passo:
20^{2}=400,
4\cdot1\cdot64=256,
logo
\Delta=400-256=144.
Como \Delta=144>0, isso nos garante que existem duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Calcular a raiz quadrada do discriminante:
\sqrt{\Delta}=\sqrt{144}=12.
Aqui usei a propriedade de que 12^{2}=144. (Na prova, é comum reconhecer quadrados perfeitos; se não for um quadrado perfeito, deixa-se \sqrt{\Delta} simbólico ou simplifica-se a raiz se possível.)

Passo 6

Aplicar a fórmula de Bháskara:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-20\pm12}{2\cdot1}=\frac{-20\pm12}{2}.
Agora calculo as duas possibilidades (o sinal + e o sinal -):
Para o sinal +:
x_{1}=\frac{-20+12}{2}=\frac{-8}{2}=-4.
Para o sinal -:
x_{2}=\frac{-20-12}{2}=\frac{-32}{2}=-16.
Portanto as duas raízes obtidas são x=-4 e x=-16.

Passo 7

Verificação rápida substituindo as raízes na equação original para ganhar confiança (cheque que dá zero):
Para x=-4:
(x+8)^{2}+4x = (-4+8)^{2}+4(-4)=4^{2}-16=16-16=0.
Para x=-16:
(x+8)^{2}+4x = (-16+8)^{2}+4(-16)=(-8)^{2}-64=64-64=0.
As duas substituições conferem, então as raízes estão corretas.

Resposta

x=-4
x=-16

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