Usando a fórmula de Bháskara, determine, quando possível, as raízes reais das equações.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, usando a fórmula de Bháskara, as raízes reais da equação
Informações dadas e o que é pedido:
- A equação fornecida é
. - A tarefa é encontrar as raízes reais (os valores de
que satisfazem a equação), usando a fórmula de Bháskara (fórmula quadrática).
Passo 2
Primeiro, vou reescrever a equação na forma padrão de uma equação quadrática, que é
porque a fórmula de Bháskara se aplica a essa forma. Expandindo
e somando
:
Portanto a equação na forma padrão é
Aqui, os coeficientes são:
Passo 3
Agora uma pequena aula sobre a fórmula de Bháskara (fórmula quadrática). Para qualquer equação quadrática na forma
com
, as raízes (soluções) são dadas por
onde o discriminante
é
O que isso significa, em palavras:
-
, e são os coeficientes da equação (já identificados). -
indica a natureza das raízes: - Se
, há duas raízes reais e distintas. - Se
, há uma raiz real dupla (raízes iguais). - Se
, não há raízes reais (as raízes são complexas conjugadas).
- Se
- Para encontrar as raízes reais, calcula-se
, toma-se (quando ) e aplica-se a fórmula acima.
Passo 4
Calcular o discriminante usando os coeficientes que encontramos:
Faço as contas passo a passo:
logo
Como
, isso nos garante que existem duas raízes reais e distintas.
Passo 5
Calcular a raiz quadrada do discriminante:
Aqui usei a propriedade de que
. (Na prova, é comum reconhecer quadrados perfeitos; se não for um quadrado perfeito, deixa-se
simbólico ou simplifica-se a raiz se possível.)
Passo 6
Aplicar a fórmula de Bháskara:
Agora calculo as duas possibilidades (o sinal
e o sinal
):
Para o sinal
:
Para o sinal
:
Portanto as duas raízes obtidas são
e
.
Passo 7
Verificação rápida substituindo as raízes na equação original para ganhar confiança (cheque que dá zero):
Para
:
Para
:
As duas substituições conferem, então as raízes estão corretas.