Resolva, determine o conjunto solução e represente na reta o conjunto solução:
(b) 3 x(x+1)-x=33-(x-3)^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
3x(x+1)-x = 33 - (x-3)^{2},
determinando o conjunto-solução e fazendo sua representação na reta. Aqui vamos usar expansão de produtos, transpor termos para um lado, reduzir ao formato padrão de uma equação do 2º grau e então fatorar para encontrar as raízes.

Passo 2

Expanda ambos os lados da equação. No lado esquerdo,
3x(x+1)-x = 3x^2 + 3x - x = 3x^2 +2x.
No lado direito,
33 - (x-3)^{2} = 33 - \bigl(x^2 -6x +9\bigr) = 33 - x^2 +6x -9 = -x^2 +6x +24.

Passo 3

Leve tudo para o lado esquerdo, somando x^2, subtraindo 6x e subtraindo 24:
3x^2 +2x - \bigl(-x^2 +6x +24\bigr) = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; 3x^2 +2x + x^2 -6x -24 = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; 4x^2 -4x -24 = 0.

Passo 4

Divida a equação inteira por 4 para simplificar:
x^2 - x - 6 = 0.

Passo 5

Fatorde a trinomial ou use Bhaskara. Aqui é fácil fatorar:
x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 3 \quad\text{ou}\quad x = -2.

Passo 6

O conjunto-solução é
S = \{-2,\,3\}.
Na reta real, representamos duas bolinhas sólidas nos pontos x=-2 e x=3, sem incluir nenhum outro ponto.

Resposta

O conjunto solução é S = \{-2,\,3\}, representado na reta por bolinhas em -2 e em 3.

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