Resolva xy dx + (2x^2 + 3y^2 - 20) dy = 0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada em forma diferencial
Informações importantes que temos:
- Coeficiente de
é . - Coeficiente de
é . - A tarefa é encontrar a solução geral (implícita) dessa equação diferencial.
Passo 2
Vamos verificar se a forma diferencial é exata. Uma forma
é exata se existe uma função
tal que
. Uma condição prática é comparar as derivadas parciais:
Calculemos:
Como
, a forma não é exata. Precisamos então procurar um fator integrante.
Passo 3
Explico de forma didática a ideia do fator integrante dependente só de
. Se existe um fator
tal que
seja exata, então deve valer
Como
depende só de
, isso dá a relação
Dividindo por
(assumindo
temporariamente) obtemos
ou seja
Se o lado direito for função apenas de
, podemos integrar e achar
.
Calculemos o lado direito para nossa equação:
que depende apenas de
. Logo existe um fator integrante que depende só de
.
Integrando:
Para trabalhar, tomamos
(isso exige considerar
; depois comentamos a inclusão de
como caso especial).
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Obtemos a nova forma:
Simplificando os termos:
Ou em notação de forma diferencial:
Passo 5
Verificamos que a forma multiplicada é exata, calculando as derivadas parciais:
Como
, a forma é exata e existe uma função potencial
com
Passo 6
Encontramos
integrando
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Agora diferenciamos
em relação a
e igualamos a
para achar
:
Igualando a
:
Logo
Integramos
em relação a
:
onde
é constante de integração.
Portanto a função potencial é
Passo 7
A solução geral implícita da equação exata é
constante. Podemos simplificar multiplicando por
para eliminar frações. Assim a solução geral implícita é
onde
é uma constante arbitrária (absorvendo o
).
Observação sobre
: ao usar
assumimos
. A função
é também solução (ela aparece como o caso com
na solução implícita), exceto nos pontos onde a equação original fica degenerada; em geral a solução implícita acima cobre esse caso quando
.