Resolva xy dx + (2x^2 + 3y^2 - 20) dy = 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada em forma diferencial
x y\,dx + (2x^{2}+3y^{2}-20)\,dy = 0.
Informações importantes que temos:
  • Coeficiente de dx é M(x,y)=x y.
  • Coeficiente de dy é N(x,y)=2x^{2}+3y^{2}-20.
  • A tarefa é encontrar a solução geral (implícita) dessa equação diferencial.

Passo 2

Vamos verificar se a forma diferencial é exata. Uma forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que d\Phi=M\,dx+N\,dy. Uma condição prática é comparar as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}\quad\text{e}\quad\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial (x y)}{\partial y}=x,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial (2x^{2}+3y^{2}-20)}{\partial x}=4x.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=x\neq 4x=\frac{\partial N}{\partial x}, a forma não é exata. Precisamos então procurar um fator integrante.

Passo 3

Explico de forma didática a ideia do fator integrante dependente só de y. Se existe um fator \mu(y) tal que \mu(y)M\,dx+\mu(y)N\,dy seja exata, então deve valer
\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x}.
Como \mu depende só de y, isso dá a relação
\mu'(y)M+\mu(y)\frac{\partial M}{\partial y}=\mu(y)\frac{\partial N}{\partial x}.
Dividindo por \mu(y)M (assumindo M\neq0 temporariamente) obtemos
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}+\frac{1}{M}\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{1}{M}\frac{\partial N}{\partial x},
ou seja
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}.
Se o lado direito for função apenas de y, podemos integrar e achar \mu(y)=\exp\!\big(\int \text{(lado direito)}\,dy\big).
Calculemos o lado direito para nossa equação:
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}=\frac{4x-x}{x y}=\frac{3x}{x y}=\frac{3}{y},
que depende apenas de y. Logo existe um fator integrante que depende só de y.
Integrando:
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=\frac{3}{y}\quad\Rightarrow\quad \ln \mu(y)=\int \frac{3}{y}\,dy=3\ln|y| \quad\Rightarrow\quad \mu(y)=|y|^{3}.
Para trabalhar, tomamos \mu(y)=y^{3} (isso exige considerar y\neq0; depois comentamos a inclusão de y=0 como caso especial).

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=y^{3}. Obtemos a nova forma:
y^{3}x y\,dx + y^{3}(2x^{2}+3y^{2}-20)\,dy = 0.
Simplificando os termos:
M_{1}(x,y)=x y^{4},
N_{1}(x,y)=2x^{2}y^{3}+3y^{5}-20y^{3}.
Ou em notação de forma diferencial:
x y^{4}\,dx + (2x^{2}y^{3}+3y^{5}-20y^{3})\,dy = 0.

Passo 5

Verificamos que a forma multiplicada é exata, calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial M_{1}}{\partial y}=\frac{\partial (x y^{4})}{\partial y}=4x y^{3},
\frac{\partial N_{1}}{\partial x}=\frac{\partial (2x^{2}y^{3}+3y^{5}-20y^{3})}{\partial x}=4x y^{3}.
Como \frac{\partial M_{1}}{\partial y}=\frac{\partial N_{1}}{\partial x}, a forma é exata e existe uma função potencial \Phi(x,y) com
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M_{1}=x y^{4},\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N_{1}=2x^{2}y^{3}+3y^{5}-20y^{3}.

Passo 6

Encontramos \Phi(x,y) integrando M_{1} em relação a x:
\Phi(x,y)=\int x y^{4}\,dx=\frac{1}{2}x^{2}y^{4}+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Agora diferenciamos \Phi em relação a y e igualamos a N_{1} para achar h(y):
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{1}{2}x^{2}\cdot 4y^{3}+h'(y)=2x^{2}y^{3}+h'(y).
Igualando a N_{1}:
2x^{2}y^{3}+h'(y)=2x^{2}y^{3}+3y^{5}-20y^{3}.
Logo
h'(y)=3y^{5}-20y^{3}.
Integramos h'(y) em relação a y:
h(y)=\int (3y^{5}-20y^{3})\,dy=\frac{1}{2}y^{6}-5y^{4}+C,
onde C é constante de integração.
Portanto a função potencial é
\Phi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{4}+\frac{1}{2}y^{6}-5y^{4}+C.

Passo 7

A solução geral implícita da equação exata é \Phi(x,y)= constante. Podemos simplificar multiplicando por 2 para eliminar frações. Assim a solução geral implícita é
x^{2}y^{4}+y^{6}-10y^{4}=C',
onde C' é uma constante arbitrária (absorvendo o 2C).
Observação sobre y=0: ao usar \mu(y)=y^{3} assumimos y\neq0. A função y\equiv 0 é também solução (ela aparece como o caso com C'=0 na solução implícita), exceto nos pontos onde a equação original fica degenerada; em geral a solução implícita acima cobre esse caso quando C'=0.

Resposta

x^{2}y^{4}+y^{6}-10y^{4}=C

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