resolva a edo abaixo com método de coeficientes indeterminados
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que está assim:
Aqui, a gente vai usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução geral. Basicamente, vamos dividir a resolução em duas partes: encontrar a solução da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
,
por
, e
por 1:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Calculando o discriminante (
):
Como
, temos duas raízes reais distintas:
Então:
Passo 4
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com condições iniciais (se tiverem).
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é da forma
, usamos um palpite da forma:
Aqui,
e
, então:
Passo 6
Agora, vamos derivar
para encontrar
e
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Substituindo:
Passo 8
Vamos simplificar os termos:
Agora, igualamos aos termos do lado direito:
Passo 9
Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 10
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Passo 11
Agora que temos
e
, a solução particular é:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.