resolva a edo abaixo com método de coeficientes indeterminados
y^prime prime-3 y^prime-4 y=-8 e^x cos (2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que está assim:
y'' - 3y' - 4y = -8 e^x cos(2x)
Aqui, a gente vai usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução geral. Basicamente, vamos dividir a resolução em duas partes: encontrar a solução da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' - 3y' - 4y = 0
Para isso, montamos a equação característica substituindo y'' por r^2 , y' por r , e y por 1:
r^2 - 3r - 4 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
r^2 - 3r - 4 = 0
Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = (-3)^2 - 4 cdot 1 cdot (-4) = 9 + 16 = 25
Como De<a > 0 , temos duas raízes reais distintas:
r = 3 pm raiz252 = 3 pm 52
Então:
r1 = 3 + 52 = 4
r2 = 3 - 52 = -1

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^4x + C2 e^-x
Aqui, C1 e C2 são constantes que determinamos com condições iniciais (se tiverem).

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp ) para a equação completa:
y'' - 3y' - 4y = -8 e^x cos(2x)
Como o lado direito é da forma e^ax (P cos bx + Q sin bx) , usamos um palpite da forma:
yp(x) = e^ax (A cos bx + B sin bx)
Aqui, a = 1 e b = 2 , então:
yp(x) = e^x (A cos 2x + B sin 2x)

Passo 6

Agora, vamos derivar yp(x) para encontrar yp' e yp'' :
Primeira derivada:
yp' = e^x (A cos 2x + B sin 2x) + e^x (-2A sin 2x + 2B cos 2x)
yp' = e^x [(A + 2B) cos 2x + (B - 2A) sin 2x]
Segunda derivada:
yp'' = e^x [(A + 2B) cos 2x + (B - 2A) sin 2x] + e^x [(-2)(A + 2B) sin 2x + 2(B - 2A) cos 2x]
yp'' = e^x [(A + 2B + 2(B - 2A)) cos 2x + (B - 2A - 2(A + 2B)) sin 2x]
yp'' = e^x [(A + 2B + 2B - 4A) cos 2x + (B - 2A - 2A - 4B) sin 2x]
yp'' = e^x [(-3A + 4B) cos 2x + (-4A - 3B) sin 2x]

Passo 7

Agora, substituímos yp , yp' e yp'' na equação original:
yp'' - 3yp' - 4yp = -8 e^x cos 2x
Substituindo:
e^x [(-3A + 4B) cos 2x + (-4A - 3B) sin 2x] - 3e^x [(A + 2B) cos 2x + (B - 2A) sin 2x] - 4e^x [A cos 2x + B sin 2x] = -8 e^x cos 2x

Passo 8

Vamos simplificar os termos:
e^x [(-3A + 4B) cos 2x + (-4A - 3B) sin 2x] - 3e^x [(A + 2B) cos 2x + (B - 2A) sin 2x] - 4e^x [A cos 2x + B sin 2x]
= e^x [(-3A + 4B - 3A - 6B - 4A) cos 2x + (-4A - 3B - 3B + 6A - 4B) sin 2x]
= e^x [(-10A - 2B) cos 2x + (2A - 10B) sin 2x]
Agora, igualamos aos termos do lado direito:
(-10A - 2B) cos 2x + (2A - 10B) sin 2x = -8 cos 2x + 0 sin 2x

Passo 9

Isso nos dá um sistema de equações:
  1. -10A - 2B = -8
  2. 2A - 10B = 0
Vamos resolver esse sistema.

Passo 10

Da segunda equação:
2A - 10B = 0
Rightarrow A = 5B
Substituindo na primeira equação:
-10(5B) - 2B = -8
-50B - 2B = -8
-52B = -8
B = -8-52 = 213
Então:
A = 5B = 5 cdot 213 = 1013

Passo 11

Agora que temos A e B , a solução particular é:
yp(x) = e^x ( 1013 cos 2x + 213 sin 2x )

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x)
y(x) = C1 e^4x + C2 e^-x + e^x ( 1013 cos 2x + 213 sin 2x )

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^4x + C2 e^-x + e^x ( 1013 cos 2x + 213 sin 2x )
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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