resolva a edo abaixo com método de coeficientes indeterminados
y^prime prime-3 y^prime-4 y=4 x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - 3,y' - 4,y = 4x^2 - 1
Vamos usar o método de coeficientes indeterminados, ou seja, encontrar a solução geral como soma da solução homogênea yh e de uma solução particular yp.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
y'' - 3,y' - 4,y = 0
O polinômio característico é
r^2 - 3r - 4 = 0,
cuja raiz é
r = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm 52,
isto é, r1 = 4 e r2 = -1. Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^4x + C2 e^-x

Passo 3

Como o termo não homogêneo 4x^2 - 1 é um polinômio de grau 2, propomos uma solução particular também polinomial de grau 2:
yp(x) = A x^2 + B x + C
Dessa forma
;yp' = 2A x + B; e ;yp'' = 2A

Passo 4

Substituindo yp, yp' e yp'' em y'' - 3y' - 4y
2A ;- 3(2A x + B);-;4(A x^2 + B x + C) = -4A x^2 + (-6A - 4B),x + (2A - 3B - 4C)
Esse polinômio deve coincidir com 4x^2 - 1. Igualando coeficientes de cada potência de x obtemos o sistema
-4A = 4, -6A - 4B = 0, 2A - 3B - 4C = -1

Passo 5

Resolvendo o sistema passo a passo:
Da primeira equação -4A = 4 vem
A = -1
Substituindo em -6A -4B = 0 obtemos
-6(-1) - 4B = 0 Longrightarrow 6 - 4B = 0 Longrightarrow B = tfrac32
Por fim, em 2A - 3B - 4C = -1 temos
2(-1) - 3l(tfrac32r) - 4C = -1 ;Longrightarrow; -2 - tfrac92 - 4C = -1 ;Longrightarrow; -4C = tfrac111 ;Longrightarrow; C = -tfrac118
Portanto
yp(x) = -x^2 + tfrac32,x - tfrac118

Passo 6

A solução geral é a soma de yh com yp:
y(x) = C1 e^4x + C2 e^-x ;-; x^2 + tfrac32x - tfrac118

Resposta

boxedy(x) = C1 e^4x + C2 e^-x - x^2 + tfrac32x - tfrac118

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