Quais das seguintes integrais são impróprias? Justifique.
integral0^2 raiz4-x^2 d x

Passo 1

O enunciado nos apresenta a integral
integral0^2 raiz4 - x^2 , dx
e pede para identificarmos se ela é imprópria. O conteúdo aqui é definição de integral imprópria: surge quando o intervalo de integração é ilimitado ou o integrando é descontínuo ou tende a infinito em algum ponto do intervalo.

Passo 2

Definição de integral imprópria: uma integral
integrala^b f(x),dx
é dita imprópria se ao menos uma das condições seguintes ocorre:
  1. O intervalo [a,b] é ilimitado (por exemplo b=infty ou a=-infty).
  2. A função f(x) é descontínua ou não limitada em algum ponto de [a,b].

Passo 3

Examinamos a função
f(x)=raiz4 - x^2
no intervalo fechado e limitado [0,2]. Temos:
  • O domínio de f é [-2,2], logo inclui todo [0,2].
  • Em x=0 e em x=2 o valor de f é raiz4=2 e raiz0=0, respectivamente, sem nenhuma descontinuidade.
  • Para 0<x<2 o radicando 4 - x^2 é positivo e f é claramente contínua.

Passo 4

Não há nenhum ponto em que o integrando seja descontínuo ou infinito, nem o intervalo é ilimitado. Logo, a integral
integral0^2 raiz4 - x^2 , dx
é própria.

Resposta

A integral integral0^2 raiz4 - x^2 , dx não é imprópria, pois seu integrando é contínuo em todo o intervalo fechado [0,2] e o intervalo de integração é finito.

Exercícios relacionados