Quais das seguintes integrais são impróprias? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos apresenta a integral
e pede para identificarmos se ela é imprópria. O conteúdo aqui é definição de integral imprópria: surge quando o intervalo de integração é ilimitado ou o integrando é descontínuo ou tende a infinito em algum ponto do intervalo.
Passo 2
Definição de integral imprópria: uma integral
é dita imprópria se ao menos uma das condições seguintes ocorre:
é dita imprópria se ao menos uma das condições seguintes ocorre:
- O intervalo
é ilimitado (por exemplo ou ). - A função
é descontínua ou não limitada em algum ponto de .
Passo 3
Examinamos a função
no intervalo fechado e limitado
. Temos:
- O domínio de
é , logo inclui todo . - Em
e em o valor de é e , respectivamente, sem nenhuma descontinuidade. - Para
o radicando é positivo e é claramente contínua.
Passo 4
Não há nenhum ponto em que o integrando seja descontínuo ou infinito, nem o intervalo é ilimitado. Logo, a integral
é própria.
Resposta
A integral
não é imprópria, pois seu integrando é contínuo em todo o intervalo fechado
e o intervalo de integração é finito.