Quais das seguintes integrais são impróprias? Justifique.
integral0^1 1e^x-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos se
integral0^11e^x-1,dx
é uma integral imprópria. O conteúdo aqui é “integrais impróprias”, que surgem quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função integranda deixa de ser limitada ou deixa de estar definida em algum ponto do intervalo.

Passo 2

Analisamos a função
f(x)=1e^x-1
no intervalo [0,1]. Para xin(0,1], e^x-1>0 e f é contínua. No entanto, em x=0 temos
e^0-1=0 Longrightarrow f(0)=10,
ou seja, f não está definida em x=0 e, ao aproximar xto0^+,
f(x)sim1xto+infty
Isso mostra que a integranda fica não limitada perto de 0.

Passo 3

Como o intervalo é finito [0,1], mas f(x) torna-se não limitada em x=0, a integral é imprópria do tipo em que a descontinuidade da integranda está num extremo do intervalo. Escrevemos
integral0^11e^x-1,dx = limvarepsilonto0^+ integralvarepsilon^11e^x-1,dx

Resposta

A integral
integral0^11e^x-1,dx
é imprópria, pois a função tfrac1e^x-1 não está definida em x=0 (tende a +infty quando xto0^+).

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