Quais das seguintes integrais são impróprias? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para identificarmos se
é uma integral imprópria. O conteúdo aqui é “integrais impróprias”, que surgem quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função integranda deixa de ser limitada ou deixa de estar definida em algum ponto do intervalo.
Passo 2
Analisamos a função
no intervalo
. Para
,
e
é contínua. No entanto, em
temos
ou seja,
não está definida em
e, ao aproximar
,
Isso mostra que a integranda fica não limitada perto de
.
Passo 3
Como o intervalo é finito
, mas
torna-se não limitada em
, a integral é imprópria do tipo em que a descontinuidade da integranda está num extremo do intervalo. Escrevemos
Resposta
A integral
é imprópria, pois a função
não está definida em
(tende a
quando
).