Resolva as edo:( cada uma vale 2,0 pontos)
\begin{aligned} & \ddot{x}+2 \dot{x}+x=e^{-t} \text { coeficientes a determinar } \\ & \ddot{x}+2 \dot{x}+x=t e^{-t} \text { variação de paramêtros } \end{aligned}çãê

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de duas EDOs não homogêneas
\ddot{x}+2\dot{x}+x=e^{-t} \quad\text{(coeficientes a determinar)}
e
\ddot{x}+2\dot{x}+x=t\,e^{-t} \quad\text{(variação de parâmetros)},çãâ
cujo homogêneo é o mesmo em ambas. Vamos primeiro achar a solução do homogêneo e depois cada particular.

Passo 2

Para o homogêneo \ddot{x}+2\dot{x}+x=0 a equação característica é
r^2+2r+1=0\implies (r+1)^2=0\implies r=-1\\ (\text{multiplicidade }2).
Logo as soluções fundamentais são
y_1(t)=e^{-t},\quad y_2(t)=t\,e^{-t},
e a solução geral do homogêneo é
x_h(t)=C_1e^{-t}+C_2\,t\,e^{-t}.

Passo 3

Para \ddot{x}+2\dot{x}+x=e^{-t} usamos coeficientes indeterminados. Como e^{-t} está no homogêneo com multiplicidade 2, tentamos
x_p(t)=A\,t^2 e^{-t}.
Derivando,
\dot x_p=Ae^{-t}(2t-t^2), \quad \ddot x_p=Ae^{-t}(t^2-4t+2).
Substituindo em \ddot x+2\dot x+x vem
\ddot x_p+2\dot x_p+x_p =Ae^{-t}\bigl[t^2-4t+2+4t-2t^2+t^2\bigr] =2A e^{-t}.
Igualando a e^{-t} obtém-se 2A=1, ou seja A=\tfrac12. Então
x_p(t)=\tfrac12\,t^2e^{-t},
e a solução geral da primeira EDO é
x(t)=C_1e^{-t}+C_2\,t\,e^{-t}+\tfrac12\,t^2e^{-t}.

Passo 4

Para \ddot{x}+2\dot{x}+x=t\,e^{-t} aplicamos variação de parâmetros usando y_1=e^{-t}, y_2=t e^{-t}. O Wronskiano é
W(t)=\begin{vmatrix}e^{-t}&t e^{-t}\\\ -e^{-t}&(1-t)e^{-t}\end{vmatrix} =e^{-t}(1-t)e^{-t}-(-e^{-t})(t e^{-t}) =e^{-2t}.

Passo 5

As fórmulas dão
u_1'=-\frac{f(t)\,y_2}{W}=-\frac{t e^{-t}\cdot t e^{-t}}{e^{-2t}}=-t^2, \quad u_2'=\frac{f(t)\,y_1}{W}=\frac{t e^{-t}\cdot e^{-t}}{e^{-2t}}=t.
Integrando,
u_1(t)=-\int t^2dt=-\tfrac{t^3}{3}, \quad u_2(t)=\int t\,dt=\tfrac{t^2}{2}.
Logo a particular é
x_p=u_1y_1+u_2y_2 =\Bigl(-\tfrac{t^3}{3}\Bigr)e^{-t}+\tfrac{t^2}{2}\,t\,e^{-t} =\tfrac{t^3}{6}e^{-t}.

Passo 6

A solução geral da segunda EDO é
x(t)=C_1e^{-t}+C_2\,t\,e^{-t}+\tfrac{t^3}{6}e^{-t}.

Resposta

Para \ddot{x}+2\dot{x}+x=e^{-t}:
x(t)=C_1e^{-t}+C_2\,t\,e^{-t}+\tfrac12\,t^2e^{-t}.
Para \ddot{x}+2\dot{x}+x=t\,e^{-t}:
x(t)=C_1e^{-t}+C_2\,t\,e^{-t}+\tfrac{t^3}{6}e^{-t}.

Exercícios relacionados