Resolva os PVIs abaixo. Cada P.V.I vale ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado apresenta dois problemas de valor inicial (P.V.I.):
- Uma EDO linear de primeira ordem
- Uma equação diferencial exata
No primeiro P.V.I. vamos usar o método do fator integrante para resolver
No segundo P.V.I. vamos checar exatidão e encontrar a função potencial para resolver
Passo 2
Para a EDO linear, colocamos na forma padrão
com
e
. O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
vira
que é exata e se escreve
Passo 3
Integramos em
:
Fazendo
,
, obtemos
Logo
Passo 4
Impondo a condição
, note que
, então
Assim a solução do primeiro P.V.I. é
Passo 5
No segundo P.V.I. identificamos a forma diferencial
Verificamos exatidão:
como são iguais, a equação é exata.
Passo 6
Existe
tal que
logo integrando em
:
Depois,
deve ser igual a
, daí
Portanto a função potencial é
e a solução geral implícita é
Passo 7
Aplicando
em
com
,
:
logo
. A solução particular é
Resposta
Para o primeiro P.V.I.:
Para o segundo P.V.I.: