Resolva os PVIs abaixo. Cada P.V.I vale ( 2,0 pontos)
\begin{aligned} \frac{d y}{d t}+y(t) \cos (t) & =\cos (t) \\ y(\pi / 2) & =1 \\ \left(2 x+y^{3}\right) d y+\left(x^{3}+2 y\right) d x & =0 \\ y(1) & =-1 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado apresenta dois problemas de valor inicial (P.V.I.):
  1. Uma EDO linear de primeira ordem
  2. Uma equação diferencial exata
    No primeiro P.V.I. vamos usar o método do fator integrante para resolver
\frac{dy}{dt}+y(t)\cos(t)=\cos(t), \quad y\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=1.
No segundo P.V.I. vamos checar exatidão e encontrar a função potencial para resolver
(2x+y^3)\,dy+(x^3+2y)\,dx=0, \quad y(1)=-1.

Passo 2

Para a EDO linear, colocamos na forma padrão
\frac{dy}{dt}+P(t)\,y=Q(t),
com P(t)=\cos(t) e Q(t)=\cos(t). O fator integrante é
\mu(t)=\exp\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) =\exp\bigl(\int\cos(t)\,dt\bigr) =\exp\bigl(\sin(t)\bigr).
Multiplicando a EDO por \mu(t) vira
\exp(\sin t)\,\frac{dy}{dt} + \exp(\sin t)\,\cos t\;y =\exp(\sin t)\,\cos t,
que é exata e se escreve
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{\sin t}\bigr) =e^{\sin t}\,\cos t.

Passo 3

Integramos em t:
y\,e^{\sin t} =\int e^{\sin t}\cos t\,dt + C.
Fazendo u=\sin t, du=\cos t\,dt, obtemos
\int e^{\sin t}\cos t\,dt =\int e^u\,du =e^u =e^{\sin t}.
Logo
y\,e^{\sin t}=e^{\sin t}+C \quad\Longrightarrow\quad y=1 + C\,e^{-\sin t}.

Passo 4

Impondo a condição y(\pi/2)=1, note que \sin(\pi/2)=1, então
1 = y\bigl(\tfrac\pi2\bigr) =1 + C\,e^{-1} \quad\Longrightarrow\quad C\,e^{-1}=0 \quad\Longrightarrow\quad C=0.
Assim a solução do primeiro P.V.I. é
\boxed{y(t)=1}.

Passo 5

No segundo P.V.I. identificamos a forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 \quad\text{com}\quad M(x,y)=x^3+2y, \;N(x,y)=2x+y^3.
Verificamos exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y}=2, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=2,
como são iguais, a equação é exata.

Passo 6

Existe \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M(x,y) =x^3+2y,
logo integrando em x:
\varphi(x,y) =\int(x^3+2y)\,dx =\frac{x^4}{4}+2xy + h(y).
Depois,
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =2x + h'(y)
deve ser igual a N(x,y)=2x+y^3, daí
h'(y)=y^3 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\frac{y^4}{4}+K.
Portanto a função potencial é
\varphi(x,y) =\frac{x^4}{4}+2xy+\frac{y^4}{4}
e a solução geral implícita é
\varphi(x,y)=C \quad\Longrightarrow\quad x^4+8xy+y^4=C'.

Passo 7

Aplicando y(1)=-1 em
x^4+8xy+y^4=C',
com x=1, y=-1:
1^4+8\cdot1\cdot(-1)+(-1)^4 =1-8+1=-6
logo C'=-6. A solução particular é
\boxed{x^4+8xy+y^4=-6}.

Resposta

Para o primeiro P.V.I.:
y(t)=1.
Para o segundo P.V.I.:
x^4+8\,x\,y+y^4=-6.

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