Resolva a EDO dada pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime-y^prime=t e^t ; y(0)=2 ; y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' - y' = t,e^t, y(0)=2, y'(0)=1
Este é um caso de equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo do tipo polinômio vezes exponencial. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que envolve: (i) achar a solução geral da homogênea e (ii) chutar uma forma para a solução particular.

Passo 2

Primeiro, a equação homogênea associada é
y'' - y' = 0
A equação característica é
r^2 - r = 0 Longrightarrow r(r-1)=0 ;Rightarrow; r=0,1
Portanto a solução geral da homogênea é
yh = C1 + C2 e^t

Passo 3

Para o termo não homogêneo t,e^t, como e^t já é solução da homogênea (raiz simples r=1), multiplicamos o chute por t. Como o polinômio em t é de grau 1, escolhemos
yp = (A,t^2 + B,t),e^t
Defina u(t)=A,t^2+B,t. Então
yp = u,e^t, yp' = (u'+u),e^t, yp'' = (u''+2u'+u),e^t
Logo
yp'' - yp' = (u''+u'),e^t
Como u'=2A,t+B e u''=2A, temos
u''+u' = 2A + (2A,t+B) = 2A,t + (2A+B)
Igualando a t (já que queremos yp''-yp'=t,e^t) obtemos
2A,t + (2A+B) = t Longrightarrow 2A=1,;2A+B=0
Rightarrow;A=tfrac12, B=-1

Passo 4

A solução geral da não homogênea é
y = yh + yp = C1 + C2 e^t + l(tfrac12t^2 - tr)e^t
Impondo y(0)=2:
y(0)=C1 + C2 = 2
Para y'(t), usando o resultado de yp' (onde u'+u = tfrac12t^2 -1 após substituir A,B), temos
y' = C2 e^t + l(tfrac12t^2 -1r)e^t
Então y'(0)=1
y'(0)=C2 -1 = 1;Longrightarrow;C2=2,;C1=0

Resposta

y(t) = e^tl(2 - t + tfrac12,t^2r)

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