Resolva a EDO dada pelo método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
Este é um caso de equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo do tipo polinômio vezes exponencial. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que envolve: (i) achar a solução geral da homogênea e (ii) chutar uma forma para a solução particular.
Passo 2
Primeiro, a equação homogênea associada é
A equação característica é
Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para o termo não homogêneo
, como
já é solução da homogênea (raiz simples
), multiplicamos o chute por
. Como o polinômio em
é de grau 1, escolhemos
Defina
. Então
Logo
Como
e
, temos
Igualando a
(já que queremos
) obtemos
Passo 4
A solução geral da não homogênea é
Impondo
:
Para
, usando o resultado de
(onde
após substituir
), temos
Então
dá