Seja
f(x)=rll 2 x-x^2, & para & 0 <= x <= 2 2-x, & para & 2<x <= 3 x-4, & para & 3<x<4 pi, & para & x >= 4
(a) Para cada um dos números 2,3 e 4 descubra se g é contínua.

Passo 1

Temos a função [f) definida por
Queremos verificar se , e . Lembrando que é contínua em se e somente se

Passo 2

Em x=2:
– Primeiro, f(2) vem do primeiro ramo ( 0<= x<=2):
f(2)=2cdot2-2^2=4-4=0
– Limite pela esquerda ( xto2^-) no mesmo ramo:
limxto2^-f(x)=limxto2(2x - x^2)=0
– Limite pela direita ( xto2^+) no segundo ramo ( 2<x<=3):
limxto2^+f(x)=limxto2(2 - x)=0
Como 0=0=0, concluímos que f é contínua em x=2.

Passo 3

Em x=3:
– Valor da função no ponto, vindo do segundo ramo ( 2<x<=3):
f(3)=2-3=-1
– Limite pela esquerda ( xto3^-) no segundo ramo:
limxto3^-f(x)=limxto3(2 - x)=-1
– Limite pela direita ( xto3^+) no terceiro ramo ( 3<x<4):
limxto3^+f(x)=limxto3(x - 4)=-1
Como -1=-1=-1, f é contínua em x=3.

Passo 4

Em x=4:
– Valor da função no ponto, vindo do quarto ramo ( x>=4):
f(4)=pi
– Limite pela esquerda ( xto4^-) no terceiro ramo ( 3<x<4):
limxto4^-f(x)=limxto4(x - 4)=0
– Limite pela direita ( xto4^+) no quarto ramo:
limxto4^+f(x)=pi
Aqui temos 0neqpi, então os limites lateral não coincidem e f é descontínua em x=4.

Resposta

Em x=2: contínua.
Em x=3: contínua.
Em x=4: descontínua.

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