Resolva a EDO:
\frac{d y}{d x}=\left(\cos ^{2} x\right)\left(\cos ^{2} y\right).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\left(\cos^{2} x\right)\left(\cos^{2} y\right)
e pede a resolução geral y(x). As informações relevantes são:
  • A equação relaciona a derivada de y com uma função separável de x e y.
  • Deve-se encontrar a família de soluções gerais (incluindo constantes se existirem).

Passo 2

Reconhecer o método adequado: esta é uma EDO separável. Vou explicar o que isso significa de forma simples e útil para a prova.
Se uma EDO tem a forma
\frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y),
então pode-se “separar” as variáveis, escrevendo
\frac{1}{g(y)}\,dy=f(x)\,dx,
e integrar os dois lados. A ideia é isolar os termos que dependem apenas de y de um lado e os que dependem apenas de x do outro, integrar e resolver para y. Isso é muito prático e é um dos métodos básicos que sempre vale a pena tentar quando a variável direita é produto de funções de x e y.

Passo 3

Aplicando a separação à equação dada. Temos
\frac{dy}{dx}=\cos^{2}x\;\cos^{2}y.
Assumindo inicialmente \cos y\neq0 (vou tratar o caso \cos y=0 separadamente), dividimos por \cos^{2}y e multiplicamos por dx:
\frac{1}{\cos^{2}y}\,dy=\cos^{2}x\,dx.
Observação importante: dividir por \cos^{2}y exige \cos y\neq0. Se \cos y=0 em toda a reta, então y é uma solução constante (tratada depois).

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Primeiro simplifico a notação: \dfrac{1}{\cos^{2}y}=\operatorname{sec}^{2}y. Então a integral à esquerda é
\int \operatorname{sec}^{2}y\,dy.
Explicação didática: sabe-se (ou pode-se verificar derivando) que a derivada da função \tan y é \operatorname{sec}^{2}y. Logo
\int \operatorname{sec}^{2}y\,dy=\tan y + C_1.
À direita temos que integrar \cos^{2}x. Uma identidade trigonométrica útil e muito usada é a identidade do ângulo duplo:
\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}.
Essa identidade facilita a integral porque \int \cos 2x\,dx é direta. Assim
\int \cos^{2}x\,dx=\int \frac{1+\cos 2x}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int 1\,dx+\frac{1}{2}\int \cos 2x\,dx.
Calculando cada termo:
\frac{1}{2}\int 1\,dx=\frac{x}{2}, \qquad \frac{1}{2}\int \cos 2x\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2x}{2}=\frac{\sin 2x}{4}.
Portanto
\int \cos^{2}x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C_2.

Passo 5

Igualando as duas integrais (absorvendo constantes numa única constante C) obtemos
\tan y=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C,
onde C é uma constante arbitrária real. Esta equação relaciona diretamente \tan y com uma função conhecida de x.

Passo 6

Resolver para y. Como \tan y foi igualado a uma função de x, as soluções y(x) são dadas por
y(x)=\arctan\!\Big(\tfrac{x}{2}+\tfrac{\sin 2x}{4}+C\Big)+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Explicação: a função \tan é periódica com período \pi, então ao inverter a tangente obtém-se a família \arctan(\cdot)+k\pi. Outra forma de apresentar a solução é fixar um único ramo principal e lembrar que pode-se somar k\pi.

Passo 7

Tratar o caso que foi excluído ao dividir por \cos^{2}y: se \cos y=0 para todo x, então y(x) é constante igual a qualquer solução de \cos y=0. As constantes que satisfazem \cos y=0 são
y\equiv \frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Verificação rápida: para essas constantes temos \cos^{2}y=0, portanto \dfrac{dy}{dx}=0 e a EDO é satisfeita.

Resposta

y(x)=\arctan\!\Big(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4}+C\Big)+k\pi,\quad C\in\mathbb{R},\\ k\in\mathbb{Z}.
y(x)\equiv \dfrac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

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