Resolva a EDO:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a resolução geral
. As informações relevantes são:
- A equação relaciona a derivada de
com uma função separável de e . - Deve-se encontrar a família de soluções gerais (incluindo constantes se existirem).
Passo 2
Reconhecer o método adequado: esta é uma EDO separável. Vou explicar o que isso significa de forma simples e útil para a prova.
Se uma EDO tem a forma
então pode-se “separar” as variáveis, escrevendo
e integrar os dois lados. A ideia é isolar os termos que dependem apenas de
de um lado e os que dependem apenas de
do outro, integrar e resolver para
. Isso é muito prático e é um dos métodos básicos que sempre vale a pena tentar quando a variável direita é produto de funções de
e
.
Passo 3
Aplicando a separação à equação dada. Temos
Assumindo inicialmente
(vou tratar o caso
separadamente), dividimos por
e multiplicamos por
:
Observação importante: dividir por
exige
. Se
em toda a reta, então
é uma solução constante (tratada depois).
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Primeiro simplifico a notação:
. Então a integral à esquerda é
Explicação didática: sabe-se (ou pode-se verificar derivando) que a derivada da função
é
. Logo
À direita temos que integrar
. Uma identidade trigonométrica útil e muito usada é a identidade do ângulo duplo:
Essa identidade facilita a integral porque
é direta. Assim
Calculando cada termo:
Portanto
Passo 5
Igualando as duas integrais (absorvendo constantes numa única constante
) obtemos
onde
é uma constante arbitrária real. Esta equação relaciona diretamente
com uma função conhecida de
.
Passo 6
Resolver para
. Como
foi igualado a uma função de
, as soluções
são dadas por
Explicação: a função
é periódica com período
, então ao inverter a tangente obtém-se a família
. Outra forma de apresentar a solução é fixar um único ramo principal e lembrar que pode-se somar
.
Passo 7
Tratar o caso que foi excluído ao dividir por
: se
para todo
, então
é constante igual a qualquer solução de
. As constantes que satisfazem
são
Verificação rápida: para essas constantes temos
, portanto
e a EDO é satisfeita.