Resolva a EDO não linear usando o método da separação de variáveis:
y(\ln x) \frac{d y}{d x}=\frac{(y+1)^{2}}{x^{2}} .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não linear de primeira ordem
y(\ln x)\,\frac{dy}{dx} = \frac{(y+1)^{2}}{x^{2}},
usando o método da separação de variáveis.

Passo 2

Isolamos \tfrac{dy}{dx}. Dividindo ambos os lados por y(\ln x) e invertendo, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{(y+1)^{2}}{x^{2}\,y(\ln x)}.

Passo 3

Separamos as variáveis y e x escrevendo
\frac{y}{(y+1)^{2}}\;dy = \frac{1}{x^{2}\,\ln x}\;dx.

Passo 4

Integramos o lado em y. Com a substituição u=y+1, temos du=dy e y=u-1, logo
\int \frac{y}{(y+1)^{2}}\,dy = \int \frac{u-1}{u^{2}}\,du = \int\Bigl(\frac{1}{u}-u^{-2}\Bigr)\,du = \ln\lvert u\rvert + \frac{1}{u} = \ln\lvert y+1\rvert + \frac{1}{y+1}.

Passo 5

Integramos o lado em x. Fazendo t=\ln x, vem dt=\frac{dx}{x} e dx=x\,dt, então
\int \frac{1}{x^{2}\,\ln x}\,dx = \int \frac{dx}{x^{2}\,t} = \int \frac{dt}{e^{t}\,t} = \int \frac{e^{-t}}{t}\,dt = \operatorname{Ei}(-t) = \operatorname{Ei}\bigl(-\ln x\bigr),
onde \operatorname{Ei} é a função exponencial integral.

Passo 6

Reunindo as duas integrais e acrescentando a constante de integração C, obtemos a solução implícita geral:
\ln\lvert y+1\rvert + \frac{1}{y+1} = \operatorname{Ei}\bigl(-\ln x\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \ln\lvert y+1\rvert + \frac{1}{y+1} = \operatorname{Ei}(-\ln x) + C.

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