Seja a função
, definida por
. Mostre que
é uma função bijetiva.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para mostrar que ela é bijetiva, isto é, injetiva e sobrejetiva.
Passo 2
Para provar a injetividade, assumimos que existem
tais que
Isso dá
Multiplicando em cruz,
Logo,
é injetiva.
Passo 3
Para provar a sobrejetividade, tomamos um
e resolvemos a equação
em
. Multiplicando em cruz,
Como
, temos
e portanto
é bem definido. Além disso,
impossível. Logo
e
. Portanto, para todo
existe
com
, isto é,
é sobrejetiva.
Passo 4
Concluímos que
é injetiva e sobrejetiva, logo é bijetiva.
Resposta
A função
é bijetiva.