Seja a função f: \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}, definida por f(x)=\frac{x+1}{x-1}. Mostre que f é uma função bijetiva.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f\colon \mathbb{R}\setminus\{1\}\to \mathbb{R}\setminus\{1\}, \quad f(x)=\frac{x+1}{x-1},
e pede para mostrar que ela é bijetiva, isto é, injetiva e sobrejetiva.

Passo 2

Para provar a injetividade, assumimos que existem x_1,x_2\in\mathbb{R}\setminus\{1\} tais que
f(x_1)=f(x_2).
Isso dá
\frac{x_1+1}{x_1-1}=\frac{x_2+1}{x_2-1}.
Multiplicando em cruz,
(x_1+1)(x_2-1)=(x_2+1)(x_1-1),
x_1x_2 - x_1 + x_2 -1 = x_1x_2 - x_2 + x_1 -1,
- x_1 + x_2 = - x_2 + x_1,
2x_2 = 2x_1 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = x_2.
Logo, f é injetiva.

Passo 3

Para provar a sobrejetividade, tomamos um y\in\mathbb{R}\setminus\{1\} e resolvemos a equação
y = \frac{x+1}{x-1}
em x. Multiplicando em cruz,
y(x-1)=x+1 \quad\Longrightarrow\quad yx - y = x + 1 \quad\Longrightarrow\quad yx - x = y + 1 \quad\Longrightarrow\quad x(y-1)=y+1.
Como y\neq1, temos y-1\neq0 e portanto
x = \frac{y+1}{y-1}
é bem definido. Além disso,
\frac{y+1}{y-1}=1 \quad\Longrightarrow\quad y+1=y-1 \quad\Longrightarrow\quad 1=-1,
impossível. Logo x\neq1 e x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}. Portanto, para todo y\neq1 existe x\neq1 com f(x)=y, isto é, f é sobrejetiva.

Passo 4

Concluímos que f é injetiva e sobrejetiva, logo é bijetiva.

Resposta

A função f(x)=\frac{x+1}{x-1} é bijetiva.

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