Resolva o PVI usando qualquer método.
x y^{2} \frac{d y}{d x}=y^{3}-x^{3} ; y(1)=2 .

Passo 1

O PVI é
x\,y^{2}\,\frac{dy}{dx}=y^{3}-x^{3},\quad y(1)=2.
Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem homogênea (grau do numerador e denominador iguais). Vamos usar a substituição
v=\frac{y}{x}.

Passo 2

Primeiro escrevemos em forma explícita:
\frac{dy}{dx} =\frac{y^{3}-x^{3}}{x\,y^{2}} =\frac{y}{x}-\frac{x^{2}}{y^{2}}.
Como o lado direito depende só da razão y/x, confirmamos que podemos usar v=y/x.

Passo 3

Defina y=v\,x. Então
\frac{dy}{dx} =v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}-\frac{x^{2}}{y^{2}}
v + x\,\frac{dv}{dx} = v - \frac{1}{v^{2}} \quad\Longrightarrow\quad x\,\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{v^{2}}.

Passo 4

Separamos variáveis:
v^{2}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Integrando ambos os lados,
\int v^{2}\,dv = -\int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^{3}}{3} = -\ln|x| + C.
Multiplicando por 3,
v^{3} = -3\ln|x| + C_{1}.

Passo 5

Voltando a y, temos \bigl(y/x\bigr)^{3}=v^{3}=C_{1}-3\ln|x|, isto é
\frac{y^{3}}{x^{3}} = C_{1} - 3\ln|x|.
Como y(1)=2, substituindo x=1, y=2:
\frac{2^{3}}{1^{3}} = C_{1} - 3\ln1 \quad\Longrightarrow\quad 8 = C_{1}.
Logo
\frac{y^{3}}{x^{3}} = 8 - 3\ln|x|.

Passo 6

Isolando y,
y^{3} = x^{3}\,\bigl(8 - 3\ln|x|\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y(x) = x\,\bigl(8 - 3\ln|x|\bigr)^{\tfrac{1}{3}}.

Resposta

y(x) = x\,\bigl(8 - 3\ln|x|\bigr)^{\tfrac{1}{3}}.

Exercícios relacionados